1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Drøfting av funksjoner på grunnlag av derivasjonsreglerChevronRight
  5. Drøfting av rasjonale funksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Drøfting av rasjonale funksjoner

I drøftingen av rasjonale funksjoner er asymptotene viktige.

Som eksempel skal vi drøfte den rasjonale funksjonen f gitt ved

fx=3xx-1.

Definisjonsmengde

Når x=1, blir nevneren null. Funksjonen er ikke definert for x=1. Da kan vi skrive

Df=\1.

Vertikal asymptote

Linjen x=a er en vertikal asymptote hvis nevneren blir null og telleren blir et tall forskjellig fra null for x=a.

For x=1 blir telleren lik 3·x=3·1=3, og nevneren blir x-1=1-1=0.

Det betyr at x=1 er en vertikal asymptote.

Horisontal asymptote

Linja y=a er en horisontal asymptote for en funksjon f dersom limx±fx=a.

limx±fx = limx±3xx-1=limx±3xxxx-1x=limx±3xxxx-1x=limx±31-1x=31-0=3

Det betyr at y=3 er horisontal asymptote.

Verdimengde

f kan ha alle funksjonsverdier unntatt 3. Verdimengden er derfor

Vf=\3.

Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter

Vi undersøker fortegnet til f'x.

f'x=3x'·x-1-3x·x-1'x-12=3·x-1-3x·1x-12=-3x-12

Nevneren x-12 er alltid positiv, og telleren er alltid negativ.

Det betyr at grafen alltid synker i sitt definisjonsområde, og grafen har derfor ikke topp- eller bunnpunkter.

Krumningsforhold og vendepunkter

Vi undersøker fortegnet til f''x.

f''x=-3'·x-12--3x-12'x-14=3·2x-1x-14=6x-13

Nevneren x-13 er negativ for x, 1 og positiv for x1, . Telleren er alltid positiv. Det gir følgende fortegnslinje for f''x:

Fortegnslinje rasjonal funksjon

Av fortegnslinja kan vi lese at grafen vender sin hule side ned for x, 1 og sin hule side opp for x1, . Et eventuelt vendepunkt måtte vært for x=1, men for denne verdi er ikke funksjonen definert. Det vil si at grafen ikke har noen vendepunkter.

Skjæringspunkt mellom grafen og koordinataksene

Det kan også være nyttig å ta med eventuelle skjæringspunkt med koordinataksene i drøftingen.

Skjæring med y-aksen
Graf rasjonal funksjon

f0=3·00-1=0

Skjæring med x-aksen (nullpunkter)

  fx = 03xx-1=0    3x=0      x=0

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å tegne en skisse av grafen for hånd. (Grafen er tegnet i GeoGebra.)

Læringsressurser

Drøfting av funksjoner på grunnlag av derivasjonsregler