1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. DerivasjonChevronRight
  5. DerivasjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Derivasjon

Vi trenger derivasjon blant annet for å si noe om hvor raskt en funksjon endrer seg.

Derivasjon

Vi ønsker å finne den momentane vekstfarten til funksjonen f i punktet Ax, fx.

Vi gir x et tillegg Δx, og får et nytt punkt B på grafen

Bx+Δx, fx+Δx

Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene A og B.

Vi regner ut stigningstallet til denne linjen.

a=ΔyΔx=fx+Δx-fxx+Δx-x=fx+Δx-fxΔx

Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra A til B.

Vi lar nå punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså Δx gå mot null.

Da vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til kurven i A.

Stigningstallet til denne tangenten forteller hvor fort grafen vokser akkurat i punktet A. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane veksten eller den deriverte til f i punktet A. Vi skriver f'xog leser «f derivert av x». Legg merke til tegnet for den deriverte, en liten apostrof på f, f'.

Den deriverte

Vi ser på grafen ovenfor.

f'x er den verdien ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx nærmer seg mot når Δx går mot null.

Definisjon

f'x=limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx

Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.

Den deriverte i et punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det samme.

Fra denne definisjonen av den deriverte i et punkt (x, f(x)) kan vi definere en ny funksjon f' der vi til hver x tilordner verdien f'x. På denne måten har funksjonen f generert en ny funksjon f'. Derfor kalles denne for den deriverte funksjonen.

Læringsressurser

Derivasjon