1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. DerivasjonChevronRight
  5. DeriverbarhetChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Deriverbarhet

Er det slik at alle funksjoner er deriverbare i alle punkter? La oss først se på en funksjon som ikke er kontinuerlig.

Grafen av en diskontinuerlig funksjon

Eksempel 1: Diskontinuerlig funksjon.

Vi har tidligere vist at funksjonen

fx={-14x2-1 ,   x<22x-8        ,   x2

ikke er kontinuerlig for x=2. Vi kan også si at funksjonen er diskontinuerlig for x=2.

Hvis funksjonen skal være deriverbar for
x=2, må grenseverdien nedenfor eksistere.

f'2=limΔx0f2+Δx-f2Δx

Fra læren om grenseverdier har vi at siden nevneren går mot null, så må også telleren gå mot null for at denne grenseverdien skal eksistere. Vi må altså ha at

limΔx0f2+Δx-f2=0

Men dette er det samme som at

limx2fx=f2.

Vi må få samme grenseverdi om x nærmer seg verdien 2 fra høyre eller fra venstre.

Når x nærmer seg verdien 2 fra venstre, må vi bruke funksjonsuttrykket

fx=-14x2-1.

Vi får da

limx2--14x2-1=-1222-1=-2

og

f2=2x-8=2·2-8=-4.

Dermed har vi at

limx2-fxf2

og da er ikke funksjonen deriverbar for x=2.

Resonnementet ovenfor gjelder generelt. Hvis en funksjon f skal være deriverbar for x=a, må grenseverdien

limΔx0fa+Δx-faΔx

eksistere.

Siden nevneren i brøken går mot null, må også telleren i brøken fa+Δx-faΔx gå mot null når Δx går mot null. Hvis ikke det skjer, vil verdien av brøken gå mot uendelig.

Men at telleren går mot null, er jo nettopp definisjonen på at en funksjon er kontinuerlig for x=a, se siden Kontinuitet.

Det må bety at funksjonen er kontinuerlig for x=a.

Det er nødvendig at en funksjon er kontinuerlig for x=a, for at den skal være deriverbar for x=a.

En annen måte å si dette på:

Hvis en funksjon f(x) ikke er kontinuerlig for x=a, så er den heller ikke deriverbar.

(Det kontrapositive utsagnet).

Men er det alltid slik at en funksjon er deriverbar hvis den er kontinuerlig?

Eksempel 2: Knekkpunkt

Graf av diskontinuerlig funksjon

Vi har tidligere vist at funksjonen

fx={14x2-4 ,         x<412x-2 ,          x4

er kontinuerlig for x=4.

Men grafen har et knekkpunkt for x=4.

På hver side av knekkpunktet har kurven en tangent, men siden de er forskjellige, finnes det ikke noen linje som passer til begge sider av kurven, og den har derfor ikke en tangent i punktet.

Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i knekkpunktet.

Vi får da at

f'x={12x   ,       x<412     ,       x>4

Hvis f'x skulle eksistert for x=4, måtte vi fått samme grenseverdi for f'x når x nærmet seg tallet 4 fra begge sider.

Vi har at

limx4-f'x=limx4-12x=12·4=2

og

limx4+f'x=limx4+12=12

Dette viser at funksjonen ikke er deriverbar for x=4 selv om den er kontinuerlig for denne x-verdien.

Læringsressurser

Derivasjon