1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. DerivasjonChevronRight
  5. Den deriverte til eksponentialfunksjonenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Den deriverte til eksponentialfunksjonen

Eksponentialfunksjoner er lette å derivere.

Leonhard Euler. Bilde.
Leonhard Euler (1707 - 1783) var den første som brukte notasjonen e for tallet som er tilnærmet lik 2,71828. Noen mener at e står for «eksponentiell», mens andre mener at Euler brukte e siden det er den andre vokalen i alfabetet, og siden han allerede brukte a i noen av sine andre matematiske arbeider.

En eksponentialfunksjon er en funksjon gitt på formen

fx=k·ax

hvor variabelen x opptrer som eksponent i en potens. Grunntallet i eksponenten, a, er en konstant større enn null, og k er en konstant.

Det er et tall som peker seg spesielt ut som grunntall i eksponentialfunksjonen, og det er tallet

e=2,718 281 828 549....

Eksponentialfunksjon graf

På figuren ser du grafen til funksjonen f gitt ved fx=ex. A og B er to vilkårlige punkt på grafen, og linjene a og b er tangenter til grafen i disse punktene. Ser du at stigningstallet til tangentene i punktene A og B har samme verdi som funksjonsverdiene i A og B?

Du kan selv tegne grafen i GeoGebra. Ved å dra punktene A og B langs grafen, vil du se at dette gjelder i alle de punktene du kan undersøke. Faktisk gjelder det helt generelt, uten at vi skal føre bevis for det her.

Eksponentialfunksjonen f gitt ved fx=ex er lik sin egen deriverte.

f(x)=exf'(x)=ex

Dette gjør tallet e til et av de viktigste tallene i matematikken. Husk at tallet e også er grunntallet til den naturlige logaritmen.

Legg også merke til at når fx=kex , hvor k er en konstant, så er f'x=kex .

Hva når eksponenten er en funksjon av x?

Når eksponenten er en funksjon av x, bruker vi kjerneregelen.

Eksempel

fx = e4xgu=eu            u=4xg'u=eu           u'=4f'x=g'u·u'xf'x=eu·4f'x=4e4x

Hva når grunntallet ikke er e?

Definisjonen av naturlig logaritme sier at ethvert tall a>0, kan skrives som e opphøyd i logaritmen til a, a=elna.

Det gir at

ax=elnax=exlna

Vi bruker så kjerneregelen.

fx = ax=exlnagu=eu     u=xlnag'u=eu    u'=lnaf'x=g'u·u'x=eu·u'=exlna·lna=elnax·lna=ax·lna

Vi får følgende derivasjonsregel for eksponentialfunksjoner:

f(x)=axa>0f'(x)=ax·lna

Eksempel 1

f(x) = 5xf'(x)=5xln5

Eksempel 2

 fx = 34xgu=3u          u=4xg'u=3u·ln3    u'=4f'x=g'u·u'xf'x=3u·ln3·4f'x=4·34x·ln3                       

Læringsressurser

Derivasjon