1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Grenseverdier, asymptoter og kontinuerlige funksjonerChevronRight
  5. Grenseverdi for en brøk når x går mot pluss uendelig eller minus uendeligChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Grenseverdi for en brøk når x går mot pluss uendelig eller minus uendelig

Vi er ofte også interessert i å finne ut hvordan det går med funksjoner når den variable vokser eller avtar uten grenser. Det vil si at den ukjente variabelen x går mot pluss uendelig eller minus uendelig.

For noen funksjoner vil funksjonsverdiene nærme seg en bestemt grenseverdi dersom x blir veldig stor. For rasjonale funksjoner vil dette ofte være tilfelle.

Vi sier at f(x) nærmer seg A som grenseverdi når x blir uendelig stor, hvis det er slik at vi kan på avstanden mellom f(x) og A så liten vi bare måtte ønske, hvis vi velger x stor nok.

Vi skriver

limxfx=A

Tilsvarende når den variable blir uendelig liten, går mot minus uendelig.


I det rasjonale uttrykket 6x22x2+4 vil tallet 4 i nevneren få svært liten betydning når absoluttverdien til x blir veldig stor. Brøken vil da oppføre seg som brøken 6x22x2 som igjen er lik 62=3. Dette indikerer at 6x22x2+4 har tallet 3 som grenseverdi når x enten blir uendelig stor eller uendelig liten.

En annen måte å begrunne dette på er å dividere teller og nevner med den høyeste potens av x som forekommer i uttrykket. I dette tilfellet er det x2 . Vi får at

6x22x2+4=6x2x22x2x2+4x2=62+4x2

Når x vokser over alle grenser, vil 4x2 gå mot null. Da vil brøken 6x22x2+4 nærme seg 62=3. Det samme resonnementet gjelder om x går mot minus uendelig. Vi har derfor at

limx±6x22x2+4=3

Denne skrivemåten betyr at grenseverdien er lik 3 både når x går mot pluss uendelig og mot minus uendelig.

Vi kan føre regningen på følgende måte:

limx6x22x2+4=limx6x2x22x2x2+4x2=limx62+4x2=62+0=3

Vi sier at den horisontale linjen y=3 er en horisontal asymptote til grafen til uttrykket når x går mot eller -.

Asymptote

Ved CAS i GeoGebra får vi

Grenseverdi for en brøk når x går mot pluss uendelig eller minus uendelig i GeoGebra. Foto

Læringsressurser

Grenseverdier, asymptoter og kontinuerlige funksjoner