1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Grenseverdier, asymptoter og kontinuerlige funksjonerChevronRight
  5. GrenseverdierChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Grenseverdier

Grenseverdibegrepet er meget sentralt i matematikken, og matematikere strevde lenge med å lage en presis definisjon.

Gitt funksjonen

fx=x2-4x-2

Funksjonen er ikke definert for x=2, for da blir nevneren lik null. Det er likevel aktuelt å spørre seg hva som skjer med verdiene til funksjonen når x-verdiene nærmer seg 2.

Vi bruker regneark og regner ut noen funksjonsverdier for x nær 2.

x1,990001,999901,9999922,000012,000102,01000
f(x)3,990003,999003,99999Ikke definert4,000014,000104,01000
Grenseverdi. Illustrasjon.

Ut fra tabellen kan det synes som om jo nærmere x-verdiene kommer tallet 2, jo nærmere kommer funksjonsverdiene tallet 4. Eller sagt på en annen måte. Det kan synes som om f(x) har 4 som grenseverdi når x nærmer seg 2.

I så tilfelle skriver vi dette som

limx2 fx=4  eller  fx4 når x2

Lim er forkortelse for det latinske ordet «limes» som betyr grense.

Litt upresist kan vi si:

Hvis vi kan få f(x) så nærme A vi måtte ønske, bare vi velger x tilstrekkelig nærme a, så har f(x) A som grenseverdi når x nærmer seg a. Vi skriver

limxa fx=A  eller  fxA når xa

Vi leser «Grenseverdien for f(x) når x går mot a (liten a) er lik A (stor A)» eller «f(x) går mot A når x går mot a ».

Vi forutsetter at x er med i definisjonsmengden til f, men det er ikke nødvendig at a er med i definisjonsmengden.

Definisjonen sier at A er grenseverdi hvis vi kan få forskjellen mellom f(x) og A så liten vi bare måtte ønske, forutsatt at vi velger x tilstrekkelig nærme a, men ikke lik a.

Metoden vi ovenfor brukte, med å regne ut noen funksjonsverdier, er på ingen måte en pålitelig metode for å finne grenseverdier.

Matematikere har kommet fram til en presis definisjon av grenseverdi som gjør det mulig å lage regneregler og dermed regne ut grenseverdier. Denne definisjonen ligger egentlig utenfor dette kurset, men vi tar den med for spesielt interesserte. Denne definisjonen omtales ofte som epsilon-delta-definisjonen, siden vi bruker de greske bokstavene ε(epsilon) og δ(delta) i definisjonen.

Grenseverdi. Illustrasjon.

Vi sier at funksjonen f(x) har tallet A som grenseverdi når x nærmer seg verdien a, hvis det til ethvert tall ε>0 finnes et tall δ>0 slik at

fx-A<ε når x-a<δ og x-a>0

Bare vi velger x nærme nok a, så havner altså f(x) så nærme A vi måtte ønske.

Med utgangspunkt i denne definisjonen kan det bevises et sett med regneregler som vi kan bruke for å regne ut grenseverdier.

For eksempel kan det vises at hvis limxa fx og limxa gx eksisterer, så er

limxa fx+gx = limxa fx+limxa gxlimxa fx·gx=limxa fx·limxa gxlimxa fxgx=limxa fxlimxa gx forutsatt at limxa gx0

Læringsressurser

Grenseverdier, asymptoter og kontinuerlige funksjoner