1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LogaritmerChevronRight
  5. LogaritmerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Logaritmer

På begynnelsen av 1600-tallet ble teleskopet oppfunnet. Det skjedde store fremskritt innenfor astronomien. Arbeid med astronomi, navigasjon og trigonometriske beregninger førte til at matematikere, fysikere og astronomer etter hvert fikk behov for å regne med tall med mange siffer.

Slike utregninger var ikke lett på den tiden. Utregningene ble lange. Ofte ble det gjort feil undervegs. For å lette arbeidet fant noen ut at ved å bruke regnereglene for potensregning, kunne multiplikasjon reduseres til addisjon og divisjon til subtraksjon.

Eksempel

Du skal multiplisere to store tall

10 000·100 000

Fra potensregningen vet du at 10 000=104 og 100 000=105.

Du vet at potenser med samme grunntall multipliseres ved å addere eksponentene og beholde grunntallet. Multiplikasjonen blir slik

10 000·100 000=104·105=104+5=109=1 000 000 000

Multiplikasjonen blir redusert til addisjon av eksponentene i tierpotenser.

Bilde av John Napier
John Napier (1550 - 1617)

Det var skotten John Napier (1550 – 1617) som begynte å regne med logaritmer. Han fant ut at alle tall kan skrives som potenser, og han begynte arbeidet med såkalte logaritmetabeller. Engelskmannen Henry Briggs (1561 – 1630) fortsatte dette arbeidet. Briggs brukte 10 som grunntall, og i 1624 utgav han boken Arithmetica Logarithmica, som blant annet inneholder en tabell med logaritmene til tall fra 1 til 20 000.

Briggs var først og fremst interessert i arbeidet med logaritmer fordi han skjønte at logaritmeregning kunne være til stor nytte når en skulle utføre til dels lange og kompliserte beregninger innenfor navigasjon. Navigasjon var spesielt viktig for engelskmennene med tanke på landets sikkerhet og forsvar.

Når vi bruker 10 som grunntall, har vi for eksempel at 2100,3010 og 3100,4771.

En logaritmetabell for hele tall fra 1 til 10 kan se ut som vist nedenfor.
(Briggs opererte med en nøyaktighet på 14 desimaler i sine logaritmetabeller!)

xlg(x)
10,0000
20,3010
3 0,4771
40,6021
50,6990
60,7782
70,8451
80,9031
90,9542
101,0000

For å multiplisere tallene 2 og 3 kan vi da regne slik

2·3100,3010·100,4771=100,3010+0,4771=100,77816

Multiplikasjon blir erstattet av addisjon. Den siste overgangen finner vi ved å bruke tabellen baklengs.

Nå tenker du sikkert at det helt klart hadde vært enklere å multiplisere direkte. Det er selvfølgelig riktig akkurat for dette eksempelet, men tenk deg at du skulle multiplisere to tall med mange siffer, uten kalkulator. Da hadde det vært lurt å kunne erstatte multiplikasjon med addisjon.

Tallet som 10 må opphøyes i for å gi et tall a, kalles for den briggske logaritmen til a. Hvor tror du navnet «briggske» kommer fra?

Den briggske logaritmen symboliseres på norsk med lg. Vi har at lg20,3010 fordi 100,30102, lg100=2, fordi 100=102 osv.

Den briggske logaritmen til et tall a

a=10lga for alle a0, 

Legg merke til at vi bare kan finne 10-logaritmen til positive tall, fordi 10x alltid vil være positiv.

Bilde av logaritmetabell og regnestav
Logaritmetabeller og regnestaver ble brukt i norsk skole fram til 1970-tallet. Da overtok kalkulatoren.

Logaritmetabeller ble brukt i norsk skole fram til 1970-tallet. Da overtok
kalkulatoren. Spør noen voksne du
kjenner om de husker logaritmetabellene. Kanskje noen har en gammel tabell liggende?

Logaritmer er fortsatt aktuelle. I dag kan du finne alle logaritmeverdier ved hjelp av kalkulator eller andre digitale verktøy. På kalkulatorer brukes gjerne log som er den internasjonale betegnelsen for logaritmer med 10 som grunntall.

Her skal vi bruke logaritmer til å forenkle uttrykk og løse likninger og ulikheter.

Læringsressurser

Logaritmer