Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LogaritmerChevronRight
  5. Ulikheter med logaritmeuttrykkChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Ulikheter med logaritmeuttrykk

Vi starter med å løse en logaritmelikning før vi går løs på logaritmeulikhetene.

Når vi løser likninger med logaritmer, utnytter vi at to tierpotenser med like eksponenter er like.

Eksempel

  lgx = 210lg x=102  To tierpotenser med like eksponenter er like.     x=100

Vi vet at funksjonen f gitt ved fx=10x vokser i hele definisjonsområdet. Det vil si at hvis a>b, så er 10a>10b, og tilsvarende hvis a<b, så er 10a<10b. Dette får vi bruk for når vi skal løse ulikheter med logaritmeuttrykk.

Eksempel 1

lgx<2x  være større enn 0.10lgx<102a<b10a<10bx<100Vi bruker definisjonen  logaritme og forenkler venstre side

Løsningen blir

x0, 100

Eksempel 2

lgx2+2lgx-2>0x  være større enn 02lgx+2lgx>2Vi bruker tredje logaritmesetning2lgx>2lgx>1210lgx>1012a>b10a>10bx>10Vi bruker definisjonen  logaritme ogforenkler  venstre side

Løsningen blir

x10, 

Eksempel 3

lg(x+2)-lg(2)<2x  være større enn -2lg(x+22)<2Vi bruker andre logaritmesetning baklengs10lg(x+22)<102a<b10a<10bx+22<100Vi bruker definisjonen  logaritme og forenkler venstre sidex+2<200x<198

Løsningen blir

x-2, 198

Eksempel 4

lgx+lg5-x  lg6x  være større enn 0 og mindre enn 5.  lgx·5-xlg6Vi bruker første logaritmesetning baklengs. 10 lgx·5-x10lg6ab10a10b      x·5-x6Vi bruker definisjonen  logaritme og forenkler venstre side.  -x2+5x-60

Setter

-x2+5x-6=0 x=-5±25-24-2 x1=2 ,  x2=3

Ulikheten blir da slik:

-x-2x-30

Et fortegnsskjema gir oversikten. Legg merke til at vi bare lager fortegnsskjema fra 0 til 5.

Fortegnsskjema, logaritmeuttrykk

Løsningen blir

x2, 3

Ulikheter kan også løses grafisk

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved fx=lgx+lg5-x (utrykket på venstre side i ulikheten ovenfor). I tillegg har vi tegnet den vannrette linja y=lg6 (høyre side i ulikheten).

Graf, logaritme 1

Vi ser også grafisk at lgx+lg5-xlg6  for  x2,3 .

Ulikheter med logaritmeuttrykk i GeoGebra. Utklipp

Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.

Eksempel 5

Vi ønsker å løse andregradsulikheten lgx2+2 lgx-3<0     x>0

Først løser vi likningen lgx2+2 lgx-3=0. Vi bruker igjen metoden med variabelskifte ved å sette u=lgx.

u = -2±22-4·1·-32·1u=-2±42lgx=1           lgx=-3             Siden u=lgx   x=101         x=10-3   x=10           x=0,001

Grafen til funksjonen f gitt ved fx=lgx2+2 lgx-3 er sammenhengende, derfor er det bare i nullpunktene at uttrykket lgx2+2 lgx-3 kan skifte fortegn.

Vi tar «stikkprøver» i intervallene 0, 0.001, 0.001, 10 og 10, , og lager fortegnsskjema.

For x=0,0001 får vi

lg0,00012+2 lg0,0001-3=-42+2·-4-3=16-8-3=5 

Uttrykket er positivt.

For x=1 får vi

lg12+2lg 1-3=02+2·0-3=-3 Uttrykket er negativt.

For x=100 får vi

lg1002+2 lg100-3=32+2·2-3=5 Uttrykket er positivt.

I et fortegnsskjema kan vi illustrere dette slik

Fortegnsskjema, logaritmeuttrykk 2

Løsning (lgx)2+2lgx-3<0 når x0.001, 10

Nedenfor har vi tegnet grafen til uttrykket lgx2+2 lgx-3 . Det er vanskelig å finne begge nullpunktene i samme bildet. Vi har derfor først tegnet grafen og funnet det ene nullpunktet 10, 0, så har vi tegnet et forstørret bilde av grafen i et lite område for å finne det andre nullpunktet 0.001, 0.

Graf, logaritme 2
Graf, logaritme 3

Vi ser av grafene at løsningen stemmer

Ulikheter med logaritmeuttrykk i Geogebra. Utklipp

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning.

Læringsressurser

Logaritmer