Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LogaritmerChevronRight
  5. Ulikheter med eksponentialuttrykkChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Ulikheter med eksponentialuttrykk

En sentral teknikk ved løsing av eksponentiallikninger er å «ta logaritmen» på begge sider av likhetstegnet. Dette kan vi gjøre fordi logaritmene til like tall er like.

Vi ønsker å løse eksponentialulikheten

2·3x>3·4x

For å finne ut litt om hvordan vi skal gå fram, løser vi først den tilsvarende eksponentiallikningen.

            2·3x = 3·4x       lg2·3x=lg3·4x       Logaritmene til like tall er like.    lg2+lg3x=lg3+lg4x  lg2+x·lg3=lg3+x·lg4x·lg3-x·lg4=lg3-lg2   xlg3-lg4=lg3-lg2                x=lg3-lg2lg3-lg4

Hvordan er det så med logaritmene til to tall som er forskjellige?

Ulikheter med eksponentialuttrykk, graf

For å svare på det, må vi igjen se på funksjonen g gitt ved gx=lgx . Grafen til g vokser for økende verdier av x i hele definisjonsområdet.

Det betyr at hvis a>b, så er lga>lgb.

På grafen til høyre ser du at siden 10 er større enn 2, så er logaritmen til 10 større enn logaritmen til 2.

Motsatt må det da også gjelde at hvis a<b, så er lga<lgb.

Hvis lga<lgb har vi også

       lga < lgblga-lgb<0       lgab<0      Bruker andre logaritmesetning baklengs.

Ut fra dette kan vi slå fast at logaritmen til et tall mellom 0 og 1 er negativ, fordi alle tall mellom 0 og 1 kan skrives som ekte brøker, dvs. brøker hvor telleren er mindre enn nevneren. På samme måte kan vi vise at logaritmen til et tall som er større enn 1 alltid vil være positiv.

Dette er viktig å vite når vi skal avgjøre om vi må snu ulikhetstegnet eller ikke hvis vi multipliserer eller dividerer med samme tall på begge sider i en ulikhet.

Eksempel 1

           2·3x  >  3·4x       lg2·3x>lg3·4x           a>blga>lgb   lg2+lg3x>lg3+lg4x  lg2+x·lg3>lg3+x·lg4x·lg3-x·lg4>lg3-lg2 xlg3-lg4>lg3-lg2         lg3-lg4<0               x<lg3-lg2lg3-lg4         Vi  snu ulikhetstegnet.

Eksempel 2 - eksponentialulikheter med vekstfaktor større enn 1

I eksempel 2 på siden Eksponentiallikninger fant vi ut hvor lenge et beløp på 1000 kroner måtte stå i banken for å fordobles når renten var 6 % per år. Hvis vi alternativt spør hvor lang tid det tar før beløpet overstiger 2000 kroner, har vi en ulikhet

1000·1,06x > 2·1000       1,06x>2   lg10,6x>lg2  x·lg1,06>lg2             lg1,06>0           x>lg2lg1,0612   Vi trenger ikke snu ulikhetstegnet.

Ved CAS i GeoGebra løser vi først likningen eksakt, for deretter å finne tilnærmede verdier for løsningen. Det gjør vi ved å trykke direkte på knappen for tilnærma utregning uten å skrive inn noe i linje 2.

Eksponentialulikheter med vekstfaktor større enn 1 i GeoGebra. Utklipp.

Eksempel 3 - eksponentialulikheter med vekstfaktor mindre enn 1

I eksempel 3 i avsnittet om eksponentiallikninger fant vi hvor mange år det ville ta før verdien av Karis bil var sunket til 100 000 kroner. Kari kjøpte bilen for 200 000 kroner. Bilens verdi synker med 10 prosent hvert år.

Hvis vi alternativt spør hvor lang tid det tar før bilens verdi har blitt mindre enn 100 000 kroner, så har vi en ulikhet.

200 000·0,90x < 100 000           0,90x<0,5      x·lg0,90<lg0,5             lg0,90<0                x>lg0,5lg0,906,6   Vi  snu ulikhetstegnet.

Ved Cas i GeoGebra løser vi først ulikheten eksakt og finner deretter tilnærma løsning, som vi gjorde i det forrige eksempelet.

Eksponentialulikskapar med vekstfaktor mindre enn 1 i GeoGebra. Utklipp

Eksempel 4

Vi vil løse ulikheten

22x-3·2xx-34x-3        x3

Vi kan ikke multiplisere med nevneren på begge sider av ulikhetstegnet x-3 fordi uttrykket kan være positivt eller negativt alt etter hvilken verdi x har.

Vi må trekke sammen, faktorisere og bruke fortegnsskjema.

        22x-3·2xx-3  4x-322x-3·2xx-3-4x-30              0  høyre side.   2x2-3·2x-4x-30              Vi setter u=2x og faktoriserer telleren.         u2-3·u-4=0                     u=--3±-32-4·1·-42·1                     u=3±252                     u1=-1    u2=4    2x+12x-4x-30

Nevneren blir 0 for x=3. I telleren kan faktoren 2x+1 ikke bli 0 eller negativ siden 2x alltid er positiv. Telleren kan derfor bare skifte fortegn når

 2x-4 = 0     2x=4x·lg2=lg22      x=2lg2lg2=2

Vi tar «stikkprøver» i intervallene , 2, 2, 3 og 3, .

For x=0 får vi

20-4·20+10-3=1-4·1+1-3=-3·+2-3 Uttrykket er positivt.

For x=2,5 får vi

22,5-4·22,5+12,5-3=22,5-3·22,5+1-0,5 

Uttrykket er negativt siden 22,5>22=4 siden 2x alltid vokser.

For x=4 får vi

24-4·24+14-3=+12·+17+1 Uttrykket er positivt.

Fortegnsskjema

Fortegnsskjema, eksponentialuttrykk

Løsningen på oppgaven blir at x må være mindre enn eller lik 2 eller større enn 3. Løsningen blir

x, 2][3, .

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning. Legg merke til at GeoGebra her ikke forenkler brøken i svaret til 2. Dette blir kanskje løst i en senere versjon av programmet.

Eksponentialulikheter. Utklipp.

Læringsressurser

Logaritmer