Vi ønsker å løse eksponentialulikheten

$$2·3^x>3·4^x$$

For å finne ut litt om hvordan vi skal gå fram, løser vi først den tilsvarende eksponentiallikningen.

$$\begin{array}{rcl} 2·3^x& = & 3·4^x\\ & & \\ \lg \left(2·3^x\right)& =& \lg \left(3·4^x\right) \mathrm{Logaritmene} \mathrm{til} \mathrm{like} \mathrm{tall} \mathrm{er} \mathrm{like}.\\ & & \\ \lg 2+\lg 3^x& =& \lg 3+\lg 4^x\\ & & \\ \lg 2+x·\lg 3& =& \lg 3+x·\lg 4\\ & & \\ x·\lg 3-x·\lg 4& =& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x\left(\lg 3-\mathrm{lg4}\right)& =& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x& =& \frac{\lg 3-\lg 2}{\lg 3-\lg 4}\end{array}$$

Hvordan er det så med logaritmene til to tall som er forskjellige?

For å svare på det, må vi igjen se på funksjonen g gitt ved $$g\left(x\right)=\lg x$$ . Grafen til $$g$$ vokser for økende verdier av $$x$$ i hele definisjonsområdet.

Det betyr at hvis $$a>b$$, så er $$\lg a>\lg b$$.

På grafen til høyre ser du at siden 10 er større enn 2, så er logaritmen til 10 større enn logaritmen til 2.

Motsatt må det da også gjelde at hvis $$a<b$$, så er $$\lg a<\lg b$$.

Hvis $$\lg a<\lg b$$ har vi også

$$\begin{array}{rcl} \lg a& < & \lg b\\ & & \\ \lg a-\lg b& <& 0\\ & & \\ \lg \frac{a}{b}& <& 0 \mathrm{Bruker} \mathrm{andre} \mathrm{logaritmesetning} \mathrm{baklengs}.\end{array}$$

Ut fra dette kan vi slå fast at logaritmen til et tall mellom 0 og 1 er negativ, fordi alle tall mellom 0 og 1 kan skrives som ekte brøker, dvs. brøker hvor telleren er mindre enn nevneren. På samme måte kan vi vise at logaritmen til et tall som er større enn 1 alltid vil være positiv.

Dette er viktig å vite når vi skal avgjøre om vi må snu ulikhetstegnet eller ikke hvis vi multipliserer eller dividerer med samme tall på begge sider i en ulikhet.

Eksempel 1

$$\begin{array}{rcl} 2·3^x & > & 3·4^x\\ & & \\ \lg \left(2·3^x\right)& >& \lg \left(3·4^x\right) a>b\Rightarrow \lg a>\lg b\\ & & \\ lg2+\lg 3^x& >& \lg 3+\lg 4^x\\ & & \\ \lg 2+x·\lg 3& >& \lg 3+x·\lg 4\\ & & \\ x·\lg 3-x·\lg 4& >& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x\left(\lg 3-\lg 4\right)& >& \lg 3-\lg 2 \lg 3-\lg 4<0\\ & & \\ x& <& \frac{\lg 3-\mathrm{lg2}}{\mathrm{lg3}-\lg 4} \mathrm{Vi} \mathrm{må} \mathrm{snu} \mathrm{ulikhetstegnet}.\end{array}$$

Eksempel 2 - eksponentialulikheter med vekstfaktor større enn 1

I eksempel 2 på siden Eksponentiallikninger fant vi ut hvor lenge et beløp på 1000 kroner måtte stå i banken for å fordobles når renten var 6 % per år. Hvis vi alternativt spør hvor lang tid det tar før beløpet overstiger 2000 kroner, har vi en ulikhet

$$\begin{array}{rcl}1000·1,{06}^x& > & 2·1000\\ & & \\ 1,{06}^x& >& 2\\ & & \\ \lg 10,6^x& >& \lg 2\\ & & \\ x·\lg 1,06& >& \lg 2 \lg 1,06>0\\ & & \\ x& >& \frac{\lg 2}{\lg 1,06}\approx 12 \mathrm{Vi} \mathrm{trenger} \mathrm{ikke} \mathrm{snu} \mathrm{ulikhetstegnet}.\end{array}$$

Ved CAS i GeoGebra løser vi først likningen eksakt, for deretter å finne tilnærmede verdier for løsningen. Det gjør vi ved å trykke direkte på knappen for tilnærma utregning uten å skrive inn noe i linje 2.

Eksempel 3 - eksponentialulikheter med vekstfaktor mindre enn 1

I eksempel 3 i avsnittet om eksponentiallikninger fant vi hvor mange år det ville ta før verdien av Karis bil var sunket til 100 000 kroner. Kari kjøpte bilen for 200 000 kroner. Bilens verdi synker med 10 prosent hvert år.

Hvis vi alternativt spør hvor lang tid det tar før bilens verdi har blitt mindre enn 100 000 kroner, så har vi en ulikhet.

$$\begin{array}{rcl}200 000·0,{90}^x& < & 100 000\\ & & \\ 0,{90}^x& <& 0,5\\ & & \\ x·\lg 0,90& <& \lg 0,5 \lg 0,90<0\\ & & \\ x& >& \frac{\lg 0,5}{\lg 0,90}\approx 6,6 \mathrm{Vi} \mathrm{må} \mathrm{snu} \mathrm{ulikhetstegnet}.\end{array}$$

Ved Cas i GeoGebra løser vi først ulikheten eksakt og finner deretter tilnærma løsning, som vi gjorde i det forrige eksempelet.

Eksempel 4

Vi vil løse ulikheten

$$\frac{2^{2x}-3·2^x}{x-3}⩾\frac{4}{x-3} x\ne 3$$

Vi kan ikke multiplisere med nevneren på begge sider av ulikhetstegnet $$x-3$$ fordi uttrykket kan være positivt eller negativt alt etter hvilken verdi $$x$$ har.

Vi må trekke sammen, faktorisere og bruke fortegnsskjema.

$$\begin{array}{rcl} \frac{2^{2x}-3·2^x}{x-3}& ⩾ & \frac{4}{x-3}\\ & & \\ \frac{2^{2x}-3·2^x}{x-3}-\frac{4}{x-3}& ⩾& 0 0 \mathrm{på} \mathrm{høyre} \mathrm{side}.\\ & & \\ \frac{{\left(2^x\right)}^2-3·2^x-4}{x-3}& ⩾& 0 \mathrm{Vi} \mathrm{setter} u=2^x \mathrm{og} \mathrm{faktoriserer} \mathrm{telleren}.\\ & & \\ u^2-3·u-4& =& 0\\ & & \\ u& =& \frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)}}{2·1}\\ & & \\ u& =& \frac{3\pm \sqrt{25}}{2}\\ & & \\ u_1& =& -1 u_2=4\\ & & \\ \frac{\left(2^x+1\right)\left(2^x-4\right)}{x-3}& ⩾& 0\end{array}$$

Nevneren blir 0 for $$x=3$$. I telleren kan faktoren $$2^x+1$$ ikke bli 0 eller negativ siden $$2^x$$ alltid er positiv. Telleren kan derfor bare skifte fortegn når

$$\begin{array}{rcl} 2^x-4& = & 0\\ & & \\ 2^x& =& 4\\ & & \\ x·\lg 2& =& \lg 2^2\\ & & \\ x& =& \frac{2\cancel{\lg 2}}{\cancel{\lg 2}}=2\end{array}$$

Vi tar «stikkprøver» i intervallene $$\langle \leftarrow , 2\rangle , ⟨2, 3⟩ \mathrm{og} ⟨3, \to ⟩$$.

For $$x=0$$ får vi

$$\frac{\left(2^0-4\right)·\left(2^0+1\right)}{0-3}=\frac{\left(1-4\right)·\left(1+1\right)}{-3}=\frac{\left(-3\right)·\left(+2\right)}{-3}$$Uttrykket er positivt.

For $$x=2,5$$ får vi

$$\frac{\left(2^{2,5}-4\right)·\left(2^{2,5}+1\right)}{2,5-3}=\frac{\left(2^{2,5}-3\right)·\left(2^{2,5}+1\right)}{-0,5}$$

Uttrykket er negativt siden $$2^{2,5}>2^2=4 \mathrm{siden} 2^x$$ alltid vokser.

For $$x=4$$ får vi

$$\frac{\left(2^4-4\right)·\left(2^4+1\right)}{4-3}=\frac{\left(+12\right)·\left(+17\right)}{+1}$$Uttrykket er positivt.

Fortegnsskjema

Løsningen på oppgaven blir at x må være mindre enn eller lik 2 eller større enn 3. Løsningen blir

$$x\in \langle \leftarrow , 2]\cup [3, \to \rangle$$.

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning. Legg merke til at GeoGebra her ikke forenkler brøken i svaret til 2. Dette blir kanskje løst i en senere versjon av programmet.