Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LogaritmerChevronRight
  5. EksponentiallikningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Eksponentiallikninger

Likninger med potensuttrykk der eksponenten er ukjent, kalles eksponentiallikninger. Vi kan bruke logaritmesetningene til å løse slike likninger.

Gitt eksponentiallikningen

ax=b

Siden logaritmen til to like tall er like, er

lgax=lgb

Tredje logaritmesetningen gir da at

xlga=lgb

Det gir løsningen på eksponentiallikningen

x=lgblga

Vi kan også her like gjerne bruke den naturlige logaritmen.

Eksempel 1

Vi skal løse likningen

23x-1=16

Vi løser likningen ved å bruke logaritmesetningene

 lg(23x-1) = lg16(3x-1)lg2=lg24   3x-1=4lg2lg2     3x=5      x=53

Tusenlapper
Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?
Eksempel 2

Anne har plassert kroner på en konto i banken.
Renten er 6,0 % per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner vekstfaktoren

1+6100=1,06

Vi kan da sette opp følgende likning der x er tiden pengene må stå i banken

1000·1,06x=2·1000

Vi forsøker å løse likningen ved å bruke logaritmesetningene.

Når en størrelse øker med p prosent, er vekstfaktoren 1+p100.

1000·1,06x = 2·10001,06x=20001000      1,06x=2                   lg1,06x=lg2         x·lg1,06=lg2           x=lg2lg1,06  

Her må vi bruke et digitalt verktøy, eller en logaritmetabell, for å få en tilnærmet verdi. I praktiske oppgaver løser vi derfor eksponentiallikninger i et CAS-verktøy.

Ved CAS i GeoGebra

CAS i geogebra. Utklipp
Beløp i banken, graf

Pengene må altså stå ca. 12 år i banken før beløpet er fordoblet.

Vi kan også løse likningen grafisk. Se koordinatsystemet til høyre. Her har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved fx=1000·1,06x og løst likningen fx=2000 grafisk.


Eksempel 3

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 prosent hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000?

Vi finner vekstfaktoren

1+1,5100=1,015

og vi kan sette opp og løse følgende likning som vi løser ved CAS i GeoGebra

CAS i GeoGebra. Utklipp

Innbyggertallet vil være 15 000 om snaue 10 år.

Eksempel 4

Bruktbiler
Hvor mange år vil det gå før bilens verdi er halvert?

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 prosent hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Når en verdi avtar med p prosent, er vekstfaktoren 1-p100.

Vekstfaktoren blir

1-10100=0,90

Bilens verdi, Vx, x antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

Vx=200 000·0,90x

Av grafen til V kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, dvs. når x=-4, altså da den var ny, var nærmere 305 000 kroner.

Verdi i kroner, graf

Vi skal også se hvordan vi kan regne ut dette.

Vi regner først ut hvor lang tid det går før bilens verdi har sunket til 100 000 kroner
CAS i GeoGebra. Utklipp

Dette var også det samme som vi fant grafisk.

Så regner vi ut hvor mye bilen var verdt for 4 år siden.

CAS i GeoGebra. Utklipp

Dette var også det samme som vi fant grafisk.

I eksempel 5 skal vi se litt på en annerledes eksponentiallikning.

Eksempel 5

            2·3x = 3·4x        lg2·3x=lg3·4x    lg2+lg3x=lg3 + lg4x  lg2+x·lg3=lg3+x·lg4x·lg3-x·lg4=lg3-lg2  xlg3-lg4=lg3-lg2                x=lg3-lg2lg3-lg4

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte være greit når vi arbeider med teoretiske problemstillinger. På Del 1 av en prøve eller eksamen må du av og til oppgi svar på eksakt form, fordi du ikke kan regne ut en tilnærmingsverdi uten bruk av digitalt verktøy. I praktiske oppgaver er det vanlig å bruke tilnærmingsverdier.

Eksempel 6

Av og til får du bruk for å løse likninger hvor det er flere ledd med potensuttrykk, som for eksempel

32x-4·3x-12=0

Hva slags likning er dette? Her må vi tenke oss litt om.

Vi ser at i likningen inngår både 3 opphøyd i 2x og 3 opphøyd i x. Fra potensregningen vet du at 32x=3x2. Likningen vår blir da

3x2-4·3x-12=0

Vi kaller nå 3x for u . Likningen blir da

u2-4·u-12=0

Nå ser vi at vi har en andregradslikning med u som den ukjente.

En jente som tenker. Illustrasjon.

Andregradslikningen har løsningen

u2-4·u-12 = 0             u=--4±-42-4·1·-122·1             u=4±16+482=4±82             u1=-2   u2=6

Nå er det viktig at vi tenker litt igjen …

Vi begynte med å sette 3x=u. Når vi nå har funnet at u=-2 eller u=6, må det bety at 3x=-2 eller 3x=6 .

Løsningen 3x=-2 gir ingen mening siden potensen 3x alltid er positiv.

Løsningen blir

3x=6    x=lg6lg31,6

Også her kunne vi oppgitt svaret på eksakt form som x=lg6lg3

Metoden her går altså ut på å skifte variabel ved å sette u=u(x), for å få en enklere likning. Når vi har løst denne og funnet u, må vi gå tilbake og finne x .

Merk at oppgaver av denne typen da gjerne kan inngå i Del 1 av en prøve eller en eksamen.

Læringsressurser

Logaritmer