1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LogaritmerChevronRight
  5. EksponentiallikningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Eksponentiallikninger

Likninger med potensuttrykk der eksponenten er ukjent, kalles eksponentiallikninger. Vi kan bruke logaritmesetningene til å løse slike likninger.

Gitt eksponentiallikningen

ax=b

Siden logaritmen til to like tall er like, er

lgax=lgb

Tredje logaritmesetningen gir da at

xlga=lgb

Det gir løsningen på eksponentiallikningen

x=lgblga

Vi kan også her like gjerne bruke den naturlige logaritmen.

Eksempel 1

Vi skal løse likningen

23x-1=16

Vi løser likningen ved å bruke logaritmesetningene

 lg(23x-1) = lg16(3x-1)lg2=lg24   3x-1=4lg2lg2     3x=5      x=53

Tusenlapper
Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?
Eksempel 2

Anne har plassert kroner på en konto i banken.
Renten er 6,0 % per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner vekstfaktoren

1+6100=1,06

Vi kan da sette opp følgende likning der x er tiden pengene må stå i banken

1000·1,06x=2·1000

Vi forsøker å løse likningen ved å bruke logaritmesetningene.

Når en størrelse øker med p prosent, er vekstfaktoren 1+p100.

1000·1,06x = 2·10001,06x=20001000      1,06x=2                   lg1,06x=lg2         x·lg1,06=lg2           x=lg2lg1,06  

Her må vi bruke et digitalt verktøy, eller en logaritmetabell, for å få en tilnærmet verdi. I praktiske oppgaver løser vi derfor eksponentiallikninger i et CAS-verktøy.

Ved CAS i GeoGebra

CAS i geogebra. Utklipp
Beløp i banken, graf

Pengene må altså stå ca. 12 år i banken før beløpet er fordoblet.

Vi kan også løse likningen grafisk. Se koordinatsystemet til høyre. Her har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved fx=1000·1,06x og løst likningen fx=2000 grafisk.


Eksempel 3

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 prosent hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000?

Vi finner vekstfaktoren

1+1,5100=1,015

og vi kan sette opp og løse følgende likning som vi løser ved CAS i GeoGebra

CAS i GeoGebra. Utklipp

Innbyggertallet vil være 15 000 om snaue 10 år.

Eksempel 4

Bruktbiler
Hvor mange år vil det gå før bilens verdi er halvert?

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 prosent hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Når en verdi avtar med p prosent, er vekstfaktoren 1-p100.

Vekstfaktoren blir

1-10100=0,90

Bilens verdi, Vx, x antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

Vx=200 000·0,90x

Av grafen til V kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, dvs. når x=-4, altså da den var ny, var nærmere 305 000 kroner.

Verdi i kroner, graf

Vi skal også se hvordan vi kan regne ut dette.

Vi regner først ut hvor lang tid det går før bilens verdi har sunket til 100 000 kroner
CAS i GeoGebra. Utklipp

Dette var også det samme som vi fant grafisk.

Så regner vi ut hvor mye bilen var verdt for 4 år siden.

CAS i GeoGebra. Utklipp

Dette var også det samme som vi fant grafisk.

I eksempel 5 skal vi se litt på en annerledes eksponentiallikning.

Eksempel 5

            2·3x = 3·4x        lg2·3x=lg3·4x    lg2+lg3x=lg3 + lg4x  lg2+x·lg3=lg3+x·lg4x·lg3-x·lg4=lg3-lg2  xlg3-lg4=lg3-lg2                x=lg3-lg2lg3-lg4

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte være greit når vi arbeider med teoretiske problemstillinger. På Del 1 av en prøve eller eksamen må du av og til oppgi svar på eksakt form, fordi du ikke kan regne ut en tilnærmingsverdi uten bruk av digitalt verktøy. I praktiske oppgaver er det vanlig å bruke tilnærmingsverdier.

Eksempel 6

Av og til får du bruk for å løse likninger hvor det er flere ledd med potensuttrykk, som for eksempel

32x-4·3x-12=0

Hva slags likning er dette? Her må vi tenke oss litt om.

Vi ser at i likningen inngår både 3 opphøyd i 2x og 3 opphøyd i x. Fra potensregningen vet du at 32x=3x2. Likningen vår blir da

3x2-4·3x-12=0

Vi kaller nå 3x for u . Likningen blir da

u2-4·u-12=0

Nå ser vi at vi har en andregradslikning med u som den ukjente.

En jente som tenker. Illustrasjon.

Andregradslikningen har løsningen

u2-4·u-12 = 0             u=--4±-42-4·1·-122·1             u=4±16+482=4±82             u1=-2   u2=6

Nå er det viktig at vi tenker litt igjen …

Vi begynte med å sette 3x=u. Når vi nå har funnet at u=-2 eller u=6, må det bety at 3x=-2 eller 3x=6 .

Løsningen 3x=-2 gir ingen mening siden potensen 3x alltid er positiv.

Løsningen blir

3x=6    x=lg6lg31,6

Også her kunne vi oppgitt svaret på eksakt form som x=lg6lg3

Metoden her går altså ut på å skifte variabel ved å sette u=u(x), for å få en enklere likning. Når vi har løst denne og funnet u, må vi gå tilbake og finne x .

Merk at oppgaver av denne typen da gjerne kan inngå i Del 1 av en prøve eller en eksamen.

Læringsressurser

Logaritmer