1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. UlikheterChevronRight
  5. Rasjonale ulikheterChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Rasjonale ulikheter

Når vi skal løse en rasjonal likning, multipliserer vi først med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet for å få en likning uten brøker. Det kan vi ikke gjøre når vi har en brøkulikhet med x i nevner. Hvorfor?

Problemet er at når vi har en brøkulikhet med x i nevner, vil nevneren være negativ for noen x-verdier og positiv for andre x-verdier. Da blir det vanskelig å forholde seg til regelen som sier at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer en ulikhet med et negativt tall.

Vi løser rasjonale ulikheter på tilsvarende måte som andregrads- og tredjegradsulikheter. Vi må samle alle ledd på den ene siden av ulikhetstegnet og faktorisere.

Eksempel

Vi skal løse ulikheten

x+12x-11 ,   x12

Vi må forutsette at x er forskjellig fra 12, for ellers får vi null i nevneren.

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side

   x+12x-1  1x+12x-1-10

Vi trekker sammen til én brøk og faktoriserer teller og nevner hvis nødvendig.

x+12x-1-1·2x-12x-1  0        x+1-2x+12x-10               2-x2x-10

Telleren er null når 2-x=0, det vil si når x=2. Nevneren er null når 2x-1=0, det vil si når x=12, som vi også slo fast i starten på eksempelet. Det er bare for disse to verdiene av x at brøken kan skifte fortegn. Vi tar «stikkprøver» og undersøker fortegnet til brøken i de aktuelle intervallene , -12, 12, 2 og 2, .

For x=0 får vi

2-02·0-1=+2-1 Uttrykket er negativt.

For x=1 får vi

2-12·1-1=+1+1 Uttrykket er positivt.

For x=3 får vi

2-32·3-1=-1+5 Uttrykket er negativt.

Rasjonale ulikheter

Vi setter opp et fortegnsskjema for brøken 2-x2x-1.

NB! Legg merke til at brøken 2-x2x-1 ikke er definert når nevneren blir 0. I fortegnsskjemaet markerer vi dette med to pilspisser som møtes eller et kryss for x=12.

Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av x brøken x+12x-11, det vil si at 2-x2x-10. Løsningen på oppgaven blir at x må være større enn 12 og mindre enn eller lik 2, x12, 2].

Merk at her kunne uttrykket vårt være null, og da tar vi med 2 i løsningen.

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning.

Rasjonale ulikheter i GeoGebra. Utklipp

Læringsressurser

Ulikheter

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter