1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. UlikheterChevronRight
  5. Ulikheter av tredje gradChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Ulikheter av tredje grad

Ulikheter av tredje grad løses på tilsvarende måte som ulikheter av andre grad.

Eksempel

Vi skal løse ulikheten

-4x2<x-4-x3

Vi ordner ulikheten slik at vi får null på høyre side. Da kan vi faktorisere venstresiden, og ulikheten kan løses ved å studere fortegnet til det faktoriserte uttrykket.

x3-4x2-x+4<0

Her har vi ikke noen informasjon som kan gi oss den første løsningen av likningen x3-4x2-x+4=0. Derfor må vi prøve oss fram, og vi finner at uttrykket x3-4x2-x+4 blir null for x=1.

13-4·12-1+4=1-4-1+4=0

Det viser at x-1 er en faktor i x3-4x2-x+4.

Vi utfører så polynomdivisjonen

x3-4x2-x+4):(x-1)=x2-3x-4 -(x3-x2)-3x2-x-(-3x2+3x)-4x+4-(-4x+4)0

Vi setter x2-3x-4=0 og finner nullpunktene

x2-3x-4 = 0          x=--3±-32-4·1·-42·1          x=3±52          x1=4 ,  x2=-1

Vi har dermed nullpunktene x=-1, x=1 og x=4.

Det betyr at

x3-4x2-x+4=x+1x-1x-4

Ulikheten kan nå skrives slik

       x3-4x-x+4 < 0x+1x-1x-4<0

Vi tar nå «stikkprøver» innenfor hvert intervall for å finne ut hvilket fortegn uttrykket x+1x-1x-4 har i hvert av de fire intervallene , -1, -1, 1, 1, 4 og 4, .

For x=-2 får vi

-2+1-2-1-2-4=-1·-3·-5

Uttrykket er negativt.

For x=0 får vi

0+10-10-4=+1·-1·-4

Uttrykket er positivt.

For x=2 får vi

2+12-12-4=+3·+1·-2

Uttrykket er negativt.

For x=5 får vi

5+15-15-4=+6·+4·+1

Uttrykket er positivt.

Ulikheter av tredje grad

For å få en oversikt over situasjonen setter vi opp et fortegnsskjema. Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av x det var slik at -4x2<x-4-x3, det vil si at x3-4x2-x+4<0. Løsningen på oppgaven blir da at x må være mindre enn -1 eller ligge mellom 1 og 4.

Løsningen er

x, -11, 4

Ved CAS i GeoGebra får vi

Ulikheter av tredje grad i GeoGebra. Utklipp

Læringsressurser

Ulikheter

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter