1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LikningerChevronRight
  5. Rasjonale likningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Rasjonale likninger

Når vi løser rasjonale likninger, må vi være ekstra oppmerksomme!

Rasjonale likninger er likninger som inneholder rasjonale uttrykk. Det betyr at likningen inneholder minst én brøk med x i nevneren.

Ved å multiplisere med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet får vi en likning uten brøker. For å finne fellesnevneren må vi faktorisere nevnerne.

Nevneren i en brøk kan aldri være null. Det er derfor utelukket at en løsning av likningen kan være et tall som gir null i en nevner. (Dette kalles av og til for «falske løsninger».) Når vi har funnet fellesnevneren på faktorisert form, er det lett å se hvilke verdier for den ukjente som må utelukkes.

Eksempel 1 (uten falske løsninger)

Vi skal løse likningen

1x2-1+x+44x-4=1

Vi begynner med å faktorisere nevnerne og finne fellesnevner

x2-1=x-1x+1      (3. kvadratsetning)   4x-4=4x-1              (Felles faktor)     4x-1x+1                   Fellesnevner

Fellesnevneren blir  4x-1x+1, og da ser vi fort at  x-1  og  x1  fordi tallene -1 og 1 gir 0 i nevneren.

Vi fortsetter med å multiplisere hvert ledd på begge sider av likhetstegnet med fellesnevneren og forkorter så faktor mot faktor i hvert ledd

                                              1x2-1+x+44x-4 = 1 ,   x-1, x11x-1x+1·4x-1x+1+x+44x-1·4x-1x+1=1·4x-1x+1                                              4+x+4x+1=4·x2-1                                              4+x2+x+4x+4=4x2-4                                                 -3x2+5x+12=0x=-5±52-4·-3·122·-3=-5±13-6                                                                x1=-43,  x2=3

Til slutt kontrollerer vi svaret vårt: I dette eksempelet gir ingen av våre løsninger null i nevner, så begge løsningene aksepteres.

Legg merke til hvor elegant vi omformer den rasjonale likningen til en likning uten brøker ved å multiplisere alle ledd i likningen med fellesnevneren. Du må huske på at dette kan du bare gjøre med likninger - ikke med rasjonale uttrykk (som ikke er likninger og bare skal forenkles). Rasjonale uttrykk må behandles, som vist på siden Mer om forenkling av rasjonale uttrykk, ved at brøker utvides og forkortes. Det er lett å gjøre feil her!

Eksempel 2 (to falske løsninger)

Vi skal løse likningen

xx-1-1x+2=3x2+x-2

Vi faktoriserer nevneren med nullpunktsfaktorisering og får  x2+x-2=x-1x+2. Dette blir også fellesnevneren. Vi ser da at tallene 1 og -2 må utelukkes som eventuelle løsninger av likningen.

Vi fortsetter med å multiplisere hvert ledd på begge sider av likhetstegnet med fellesnevneren og forkorter faktor mot faktor i hvert ledd

xx-1x-1x+2-1x+2x-1x+2  = 3x2+x-2x-1x+2 ,   x1, x-2                           xx+2-x-1=3                           x2-2x-x+1-3=0                                    x2+x-2=0                                             x=-1±12-4·1·-22·1                                             =-1±32                                             x1=1,  x2=-2

Vi kontrollerer igjen svaret, og ser at vi har allerede utelukket begge disse løsningene. Likningen har dermed ingen løsning.

Ved CAS i GeoGebra får vi

Rasjonale likninger i GeoGebra. Utklipp
Tom klammeparentes markerer at likningen ikke har løsning.

Læringsressurser

Likninger

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter