1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. Forkorte og trekke sammen rasjonale uttrykkChevronRight
  5. Rasjonale uttrykk som inneholder tredjegradspolynomerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Rasjonale uttrykk som inneholder tredjegradspolynomer

Når vi skal forenkle rasjonale uttrykk som inneholder polynomer, må vi som alltid først faktorisere polynomene.

Vi ser på dette gjennom to eksempler.

Eksempel 1

Vi ønsker å forkorte brøken

x3-x2-4x+42x2-4x

Nevneren kan faktoriseres ved å sette felles faktor utenfor parentes.

x3-x2-4x+42x2-4x=x3-x2-4x+42x(x-2)

Hvis brøken skal kunne forkortes, må telleren inneholde minst en av faktorene i nevneren. Vi ser først at telleren ikke blir null når vi setter inn x=0. Det betyr at teller ikke er delelig med x.

Vi undersøker så om telleren er delelig med x-2.

Hvis telleren er delelig med x-2, vil polynomet x3-x2-4x+4 være lik 0 når x=2.

Vi setter inn x=2 og regner ut

23-22-4·2+4=0

Svaret ble 0. Da vil følgende polynomdivisjon «gå opp».

x3-x2-4x+4):(x-2)=x2+x-2 -(x3-2x2)x2-4x+4-(x2-2x)-2x+4-(-2x+4)0

Vi har da faktorisert tredjegradpolynomet i telleren og funnet at

x3-x2-4x+4=x-2x2+x-2

Vi kan nå forkorte brøken

x3-x2-4x+42x2-4x=x-2x2+x-22xx-2=x2+x-22x

Eksempel 2

Vi ønsker å forkorte brøken

x3-3x2-x+3x2-1

Nevneren kan faktoriseres ved å bruke tredje kvadratsetning.

x3-3x2-x+3x2-1=x3-3x2-x+3x-1x+1

Hvis brøken skal kunne forkortes, må telleren inneholde minst en av faktorene i nevneren.

Vi undersøker først om telleren er delelig med x-1.

Hvis telleren er delelig med x-1, vil polynomet x3-3x2-x+3 være lik 0 når x=1.

Vi setter inn x=1 og regner ut

13-3·12-1+3=1-3-1+3=0

Svaret ble 0. Da er polynomet delelig med x-1 .

Vi undersøker så om telleren er delelig med x+1.

Vi setter inn x=-1 og regner ut

-13-3·-12--1+3=-1-3+1+3=0

Svaret ble 0. Da er polynomet også delelig med x+1.

Siden polynomet er delelig både med x-1 og x+1, må det være delelig med produktet x+1x-1=x2-1.

Vi utfører divisjonen

x3-3x2-x+3):(x2-1)=x-3 -(x3-x)-3x2+3-(-3x2+3)0

Vi har nå faktorisert tredjegradspolynomet fullstendig.

x3-3x2-x+3=x+1x-1x-3

Vi kan da forkorte brøken

x3-3x2-x+3x+1x-1=x-1x+1x-3x-1x+1=x-3

Hvorfor vet vi at vi har kommet fram til sluttsvaret med selve polynomdivisjonen i dette eksempelet?

Ved CAS i GeoGebra bruker vi knappen for faktorisering og får

faktorisering i GeoGebra. Utlipp

Læringsressurser

Forkorte og trekke sammen rasjonale uttrykk

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter