1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. En sirkel i planetChevronRight
  5. Omforme en sirkellikning ved å bruke fullstendige kvadraters metodeChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Omforme en sirkellikning ved å bruke fullstendige kvadraters metode

Dersom vi ønsker å finne radien og koordinatene til sentrum i en sirkel ut i fra sirkellikningen, må likningen omformes på en spesiell måte.

En sirkel kan for eksempel være gitt ved

x2+2x+y2-6y=-1

Hvordan kan vi se at dette er likningen for en sirkel? Og hvordan kan vi finne sentrum og radius i sirkelen?

Siden både x og y er opphøyd i andre potens (og har like koeffisienter), må dette være likningen for en sirkel.

For å finne sentrum og radius i sirkelen, må vi skrive om likningen slik at vi får den på formen x-x02+y-y0=r2.

Uttrykkene x-x02 og y-y02 kalles fullstendige kvadrater.

I matematikk 1T lærte du å skrive om uttrykk for å lage fullstendige kvadrater. Nedenfor har vi tatt med to eksempler, men hvis du er usikker, kan du gå til siden Fullstendige kvadrater fra 1T og repetere dette skikkelig!

Eksempel 1

Er x2-6x+9 et fullstendig kvadrat?

Husk at et fullstendig kvadrat er et angregradsuttrykk som kan faktoriseres ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

Løsning

Her er førstegradsleddet negativt. Vi må derfor prøve med andre kvadratsetning.

Siden andregradsleddet er x2 og konstantleddet er 9, må a=x2=x og b=9=3 .

Vi må da sjekke om førstegradsleddet er «det dobbelte produkt», det vil si 2ab.

Her er 2ab=2·x·3=6x, altså lik førstegradsleddet i uttrykket x2-6x+9.

Da er x2-6x+9=x-32 og vi har et fullstendig kvadrat.

Eksempel 2

Legg til et konstantledd slik at uttrykket x2+10x blir et fullstendig kvadrat.

Løsning

Her er førstegradsleddet positivt. Vi må derfor bruke første kvadratsetning.

Siden andregradsleddet er x2, må a=x2=x.

«Det dobbelte produktet», 2ab=10x.

Da er

b=10x2a=10x2x=5

Vi får da at b2=25 og det fullstendige kvadratet blir

x2+10x+25=x+52

For å lage fullstendig kvadrater, sier vi ofte at vi må "halvere, kvadrere og addere". Ser du hva vi mener med det? Legg merke til at x2+10x+25=x2+10x+1022

Eksempel 3

Så tilbake til sirkelen gitt ved likningen

x2+2x+y2-6y=-1

Vi sorterer leddene, og legger til det vi mangler for å få fullstendige kvadrater.

x2+2x+y2-6y = -1x2+2x+222+y2-6y+622=-1+222+622x2+2x+12+y2-6y+32 = -1+12+32x2+2x+1x+12 + y2-6y+9y-32 =-1+1+9x+12+y-32=32

Legg merke til at vi legger til de samme leddene på begge sider av likhetstegnet!
Hvorfor må vi gjøre det?

Sirkel i planet. Illustrasjon.

Dette er altså likningen for en sirkel med sentrum i -1, 3 og radius r=3.

Læringsressurser

En sirkel i planet

SubjectEmne

Fagstoff