1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. En sirkel i planetChevronRight
  5. En sirkel i planetChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

En sirkel i planet

En sirkel i et koordinatsystem kan alltid uttrykkes ved hjelp av en likning: Sirkellikningen.

Sirkel i planet

Til høyre ser du en sirkel med sentrum i punktet x0, y0. Vi setter radius i sirkelen lik r. Sirkelen er samlingen av, eller det geometriske stedet for, alle punkter x, y som har avstanden r fra punktet x0, y0.

Vi lar r være vektoren fra sentrum i sirkelen,x0, y0, til et vilkårlig punkt på sirkelen, x, y.

Da er r=r.

Dette gir

                     r = r        x-x0,y-y0=rx-x02+y-y02=r   x-x02+y-y02=r2

Legg merke til at en sirkel per definisjon bare er samlingen av punkter som har avstand r fra sentrum.

Noen ganger blir imidlertid begrepet «sirkel» brukt om hele området som er avgrenset av denne samlingen av punkter. Vi snakker for eksempel om «arealet av en sirkel». Punktene som har avstanden r fra sentrum kalles da «sirkelperiferien».

Eksempel 1

Sirkel i planet. Illustrasjon.

En sirkel har sentrum i 4, 3. Radius i sirkelen, r=2. Finn likningen for sirkelen.

Løsning

Vi finner likningen for sirkelen ved å sette r=2.

                    r = 2       x-4,y-3=2x-42+y-32=2x-42+y-322=22  x-42+y-32=22

Eksempel 2

Likningen for en sirkel er gitt ved x-22+y+42=52. Bestem sentrum og radius i sirkelen.

Løsning

Hvis vi sammenlikner med likningen x-x02+y-y02=r2, ser vi at x0=2, y0=-4 og r=5.

Sirkelen har sentrum i 2, -4 og r=5 .

En sirkel har likningen x2+y2=r2. Hvor ligger sentrum i denne sirkelen?

Når likningen for en sirkel er gitt på formen ovenfor, er det lett å finne sentrum og radius i sirkelen.

Men, en sirkel kan også for eksempel være gitt ved

x2+2x+y2-6y=-1

På siden Omforme en sirkellikning ved å bruke fullstendige kvadraters metode viser vi hvordan vi omformer likningen slik at den blir på samme form som i eksemplene ovenfor.

Læringsressurser

En sirkel i planet

SubjectEmne

Fagstoff