1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Skjæringssetninger i trekanterChevronRight
  5. Høydene i en trekantChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Høydene i en trekant

Her lager vi en konstruksjon med GeoGebra og beviser den tredje skjæringssetningen, setningen om at høydene til en trekant alltid møtes i trekantens ortosenter.

Bilde av trekanten ABC

Vi tegner en ABC i GeoGebra.

a) Vi konstruerer så de tre høydene i trekanten.

De tre høydene skjærer hverandre i ett punkt!

Bilde av trekant

b) Vi drar i hjørnene i trekanten slik at trekanten forandrer form.

De tre høydene, eller forlengelsene av dem,
møtes i ett punkt uansett hvilken form trekanten
har. Det felles skjæringspunktet ligger ikke alltid
inne i trekanten.

c) På grunnlag av observasjonene våre formulerer vi følgende hypotese:

Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.

d) Bevis

Bilde av trekant med konstruksjonene

La ABC være en vilkårlig trekant.
Vi konstruerer en linje gjennom C som er parallell med AB. Tilsvarende konstruerer vi en linje gjennom A som er parallell med BC og en linje gjennom B som er parallell med AC. Se figur.

Firkanten ABCD er et parallellogram. Det medfører at DC=AB . Firkanten ABFC er også et parallellogram, og CF=AB . Da er DC=CF, og
høyden fra C AB i ABC faller sammen med midtnormalen på siden FD i EFD, linjen g på figuren.

Vi kan tilsvarende vise at høyden fra BAC faller sammen med midtnormalen på siden EFog at høyden fra ABC faller sammen med midtnormalen på siden ED.

Vi vet at midtnormalene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Da må også høydene i ABC skjære hverandre i ett punkt siden de faller sammen med midtnormalene i EFD.

Vi har da vist at hypotesen er riktig og vi har følgende setning:

Setningen om høydene i en trekant

Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.

Dette punktet kalles trekantens ortosenter.

Læringsressurser

Skjæringssetninger i trekanter