1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Skjæringssetninger i trekanterChevronRight
  5. Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen

Her lager vi en konstruksjon med GeoGebra og beviser den andre skjæringssetningen, setningen om at vinkelhalveringslinjene i en trekant vil skjære hverandre i trekantens innsenter.

Vi tegner en ABC i GeoGebra.

Bilde av trekant

a) Vi konstruerer så halveringslinjene til vinklene i trekanten.

Vinkelhalveringslinjene skjærer hverandre i ett punkt!

b) Vi drar i hjørnene i trekanten slik at trekanten forandrer form.

Bilde av trekant

Vinkelhalveringslinjene møtes i ett
punkt uansett hvilken form trekanten har. Det felles skjæringspunktet
ligger alltid inne i trekanten.

Bilde av trekant

c) Vi nedfeller normalen fra skjæringspunktet S mellom vinkelhalveringslinjene til siden BC. Normalen skjærer BC i punktet D. Vi konstruerer så en sirkel med sentrum i S og radius SD.

Sirkelen tangerer alle sidene
i trekanten!

Bilde av trekant

d) Vi drar igjen i hjørnene i trekanten. Sirkelen tangerer alle sidene i trekanten uansett hvilken form trekanten har.

På grunnlag av observasjonene våre formulerer vi følgende hypotese:

I alle trekanter vil vinkelhalveringslinjene skjære hverandre i ett punkt.

En sirkel med sentrum i dette felles skjæringspunktet S og med radius lik avstanden fra S til en av sidene i trekanten, vil også tangere de to andre sidene i trekanten.

e) Bevis

Bilde av trekant

La ABC være en vilkårlig trekant.

Vi husker at vinkelhalveringslinjen er det geometriske stedet for alle de punktene som ligger like langt fra vinkelens bein.

La S være skjæringspunktet mellom halveringslinjene for CAB og ABC.

Da ligger S like langt fra AB som fra AC. S må også ligge like langt fra AB som fra BC. Da må avstanden fra S til AC og BC være lik, og dermed ligger S på halveringslinjen for ACB. Siden avstandene fra S til hver av sidene i trekanten er den samme, må S være sentrum i sirkelen.

Vi har da vist at hypotesen er riktig, og vi har følgende setning:

Setningen om vinkelhalveringslinjene i en trekant

I alle trekanter vil vinkelhalveringslinjene skjære hverandre i ett punkt.

En sirkel med sentrum i dette felles skjæringspunktet S og med radius lik avstanden fra S til en av sidene i trekanten, vil også tangere de to andre sidene i trekanten.

Vi kaller denne sirkelen for trekantens innskrevne sirkel.

Punktet hvor vinkelhalveringslinjene møtes, sentrum i den innskrevne sirkelen, kaller vi trekantens innsenter.

Læringsressurser

Skjæringssetninger i trekanter

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter