Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. FormlikhetChevronRight
  5. Formlike trekanterChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Formlike trekanter

Hva skal egentlig til for at to trekanter skal være formlike?

Figuren nedenfor viser to formlike trekanter. Som du ser, er to og to vinkler like store.

Dersom to trekanter har parvis like store vinkler, er trekantene formlike.

Den store trekanten er et forstørret bilde av den lille trekanten og den lille trekanten er et forminsket bilde av den store trekanten.

Hvis vi kan vise at vinklene i to trekanter er parvis like store, har vi vist at trekantene er formlike.

Det er nok å vise at to par av vinkler i to trekanter er like store. På grunn av setningen om at summen av vinklene i en trekant alltid er lik 180 grader, må nemlig også det tredje paret av vinkler være like store.

Formlike trkanter

To sider som ligger «motsatt» av to vinkler som er like store, ligger på «tilsvarende» plasser i de to trekantene, og vi kaller dem for tilsvarende sider eller samsvarende sider.

De blå sidene er tilsvarende fordi de ligger «motsatt» de blå vinklene som er like store.
De røde sidene er tilsvarende fordi de ligger «motsatt» de røde vinklene som er like store.
De grønne sidene er tilsvarende fordi de ligger «motsatt» de grønne vinklene som er like store.

Vi regner ut forholdet mellom lengdene av tilsvarende sider

124=393=362=3

Vi ser at forholdet er konstant lik 3. Vi kaller dette tallet for målestokken. Et annet navn er det lineære forholdstallet.

Sidene i den største trekanten er altså tre ganger så lange som sidene i den minste trekanten.

(Legg merke til at hvis vi ser på den lille trekanten som et bilde av den store trekanten, så er målestokken lik 1:3.)

Følgende gjelder alltid for formlike trekanter:

I to formlike trekanter er forholdet mellom samsvarende sider alltid det samme. Dette forholdet kaller vi målestokken.

For å vise at to trekanter er formlike, kan vi derfor også bruke setningen nedenfor.

Hvis forholdet mellom tre par av sider i to trekanter er det samme, er trekantene formlike.

Bilde av to trekanter som ikke er formlike

For å vise at to trekanter er formlike, er det ikke tilstrekkelig å vise at forholdet mellom to par av sider er det samme. På figuren til høyre ser du to trekanter hvor forholdet mellom to par av sider er det samme. Disse trekantene er ikke formlike.



For at trekantene skal være formlike må i tillegg vinklene mellom de aktuelle sidene være like store. Se figuren nedenfor.

Bilde av to formlike treknater

Hvis forholdet mellom to par av sider er det samme, og vinklene mellom de aktuelle sidene i tillegg er like store, er to trekanter formlike.

Vi kan vise at dette er riktig ved for eksempel å bruke cosinussetningen.

Bilde av to formlike trekanter

Bevis

Gitt ABC og DEF slik at

ad=cf=k og B=E.

I følge cosinussetningen har vi

b2=a2+c2-2ac·cosB

og

e2=d2+f2-2df·cosE

Siden ad=cf=k, vil

a=kd og c=kf

Da har vi

b2 = a2+c2-2ac·cosB=(kd)2+(kf)2-2(kd)-(kf)·cosE=k2d2+k2f2-2k2df·cosE=k2(d2+f2-2df·cosE)=k2e2b=k2e2=ke

Vi har vist at b=ke og derfor at be=k.

Det betyr at forholdene mellom alle tre par av samsvarende sider er det samme, og derfor at trekantene er formlike.

Vi kan også vise at to trekanter er formlike dersom forholdet mellom to par av samsvarende sider er det samme, og de motstående vinklene til de lengste av disse sidene er like store.

Se figuren nedenfor.

Bilde av to formlike trekanter

For å vise at dette er riktig, kan vi bruke sinussetningen.

Bevis

Gitt ABC og DEF slik at ad=be=k og B=E.


I følge sinussetningen har vi

sinBb = sinAasinB=sinAa·b

og

sinEe = sinDdsinE=sinDd·e

Siden B=E er

sinB = sinEsinAa·b=sinDd·e

ad=be gir at ba=ed, og da har vi

sinAa·b = sinDd·esinA= sinD

Enhetssirkelen

To vikler som har samme sinusverdi, er ikke nødvendigvis like store.

sinu=sin180°-u

Se figuren.

I vårt tilfelle vil A=D fordi

A < BA<180°-A-C2A<180°-CA<90°-12C

(B=180°-A-C  fordi vinkelsummen i en trekant er 180°)

og tilsvarende

D < ED<180°-D-F2D<180°-FD<90°-12F

Dette viser at både A og D er mindre enn 90°.

Legg merke til hvordan vi her får bruk for at det er de motstående vinklene til de lengste sidene som i utganspunktet er like.

Siden sinA=sinD, er de to vinklene da like store. Vi har nå vist at to par vinkler er like store. Da er trekantene formlike.

Læringsressurser

Formlikhet

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter