1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. Sannsynlighet og statistikkChevronRight
  4. Standardisert normalfordelingChevronRight
  5. Standardisert normalfordelingChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Standardisert normalfordeling

Når vi skal beregne sannsynligheter knyttet til normalfordelingen på del 1 til eksamen, må vi bruke den standardiserte normalfordelingen.

En standardisert normalfordeling er en normalfordeling med forventningsverdi lik 0 og standardavvik lik 1.

Standarisert normalfordeling. Illustrasjon.

La X være en normalfordelt stokastisk variabel med forventningsverdi μ og standardavvik σ.

Vi innfører en ny stokastisk variabel Z.

Ved å la verdiene i Z være verdiene til X fratrukket forventningsverdien, får vi normalfordelingskurven til Z til å ligge symmetrisk om y-aksen. I tillegg dividerer vi med standardavviket for at standardavviket til Z skal være lik 1.

Den stokastiske variabelen Z defineres ved

Z=X-μσ

Det kan da vises at Z har forventningsverdi μ=0 og standardavvik σ=1.

E(Z)=EX-μσ=E1σX-μσ=1σE(X)-μσ=1σ·μ+-μσ=0Var(Z)=VarX-μσ=Var1σX-μσ=1σ2Var(X)=1σ2·σ2=1σ2=1=1

Vi kan finne P(Zz) som arealet markert med blått under grafen til g.

Tenkeboble, forklar hvorfor P. Illustrasjon.

Følgende tabell (blir oppgitt på del 1 av eksamen) viser ulike sannsynligheter P(Zz) i denne fordelingen. Du trenger bare positive verdier for z på grunn av symmetrien,

P(Zz)=P(Zz)

Sannsynlighet. Tabell.

For en vilkårlig annen normalfordelt stokastisk variabel, X, kan vi regne en x-verdi om til en z-verdi og finne sannsynligheter i X-fordelingen ved at P(Zx)=P(Zz).

Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra regnet ut at sannsynligheten for at en rekrutt hadde en høyde mellom 170 cm og 185 cm var 0,696, P(170X185)=0,696.

Dette kan vi også finne ved å bruke standard normalfordeling. Vi regner først x-verdiene om til z- verdier.

x = 185z=x-μσ=185-180,16,8=0,72x=170z=x-μσ=170-180,16,8=-1,49

Det betyr at

P170<X<185=P-1,49<Z<0,72

Normalfordelingskurve. Illustrasjon.

P-1,49Z0,72=PZ0,72-PZ-1,49

Tabellen ovenfor gir at PZ0,72=0,76424. Denne verdien er uthevet i tabellutdraget nedenfor.

z 0,00 0,01 0,02 0,03
0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197
0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172
0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095
0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930
0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640
0,5 0,69146 0,69479 0,69847 0,70194
0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565
0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730
0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673

For å finne PZ-1,49, må vi også bruke «symmetrien» i normalfordelingen og at samlet sannsynlighet er lik 1.

PZ-1,49 = PZ1,49=1-PZ1,49=1-0,93189=0,06811

Da har vi at

P170X185 = P-1,49Z0,72=PZ0,72-PZ-1,49=0,76424-0,06811=0,69613

Dette er det samme som sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra regnet ut, da med 3 desimalers nøyaktighet.

Vi kan også gå motsatt vei. Vi kan for eksempel finne hvor høy en rekrutt må være for å være blant de 30 % som er høyest.

I normalfordelingstabellen finner vi P(Zz). Vi må da finne hvilken z-verdi som tilsvarer en sannsynlighet på 70 % eller 0,7000.

Vi finner ikke sannsynligheten 0,7000 i tabellen, men vi finner at når z=0,52, er sannsynligheten 0,6985, og når z=0,53, er sannsynligheten lik 0,7019. Vi bruker verdien

z=0,525

Det betyr at

     x-μσ = 0,525x-180,16,8=0,525           x=0,525·6,8+180,1           x=183,7

Vi kan altså regne med at 30 % av de vernepliktige er høyere enn 183,7 cm.

Læringsressurser

Standardisert normalfordeling

SubjectEmne

Fagstoff