1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. Sannsynlighet og statistikkChevronRight
  4. SentralgrensesetningenChevronRight
  5. Binomiske forsøk og sentralgrensesetningenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Binomiske forsøk og sentralgrensesetningen

Det er mye arbeid å finne forventningsverdi og standardavvik til en sum av mange stokastiske variabler. Hvor mange variabler må det egentlig være i summen for at vi skal kunne bruke sentralgrensesetningen? Her ser vi på et binomisk forsøk.

Multiple choice test

Vi ser på eksempelet med en flervalgsprøve med fire uavhengige oppgaver. Hver oppgave har fire svaralternativer, og oppgaven skal besvares ved å krysse av for riktig svaralternativ.

Vi antar at en elev ikke er forberedt og tar prøven ved å gjette.

Vi lar den stokastiske variabelen X være antall riktige svar på prøven. Vi har da en binomisk forsøksrekke med n=4 og p=0,25.

Den stokastiske variabelen X er nå nettopp lik summen av antall rette på hver av enkeltforsøkene. Etter sentralgrensesetningen er X normalfordelt hvis n er stor nok. Men er n=4 stort nok?

Vi kan se om det er tilfelle.

Vi starter altså med n=4.

Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen for X. Du kan se på siden Binomisk sannsynlighetsfordeling dersom du trenger hjelp til å finne denne.

k PX=k
0 0,316
1 0,422
2 0,211
3 0,047
4 0,004

Vi tegner histogrammet til denne sannsynlighetsfordelingen.

Histogram, sannsynlighetsfordeling ved flervalgsprøve

Vi regner ut forventningsverdi og standardavvik til den binomisk fordelingen

μ=np=4·0,25=1σ=np1-p=4·0,251-0,25=0,75

Vi tegner så normalfordelingsfunksjonen for X sammen med histogrammet over sannsynlighetsfordelingene.

Histogram og sannsynlighetsfordeling

Vi kan ikke si at dette histogrammet faller nok sammen med grafen til normalfordelingsfunksjonen. Det betyr at X ikke er normalfordelt.

Vi øker så antall oppgaver på prøven, først til 34 og så til 100.

Vi sammenlikner histogrammene til sannsynlighetsfordelingene med kurvene til normalfordelingsfunksjonene.

Normalfordeling

Vi ser at for økende verdier av n, blir sannsynlighetsfordelingene og normalfordelingsfunksjonene mer og mer overlappende.

For store verdier av n kan vi si at X er tilnærmet normalfordelt. Erfaring viser at hvis både n·p>10 og n·1-p>10, kan vi tilnærme X med en normalfordeling.

La X være antall suksesser i en binomisk forsøksrekke med uavhengige delforsøk, hvert med sannsynlighet p for «suksess».

Da er X tilnærmet normalfordelt hvis både n·p>10 og n·1-p>10.
I normalfordelingen er

μ=np  og  σ=np1-p

Summen av rekrutthøyder

Vi ser igjen på den stokastiske variabelen X som høyden til en tilfeldig rekrutt fra år 2008.

I tabellen har vi regnet ut forventningsverdien og standardavviket til X.

x P(X=x) x·P(X=x)(xμ)2·P(X=x)
162,50,0121,953,70
167,50,0498,217,73
172,50,15326,398,75
177,50,26847,571,76
182,50,28251,471,68
187,50,16530,949,13
192,50,05710,578,82
197,50,0132,573,95
Sum μ=180,1 Var(X)=45,5
Standardavvik σ=6,8

La S være summen av høydene til 100 tilfeldig uttrukne rekrutter.

S=X1+X2+ ... +X100

Sentralgrensesetningen sier at da er S normalfordelt med forventningsverdi og standardavvik

μ=100·180,1=18010

σ=100·6,8=86

Læringsressurser

Sentralgrensesetningen

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter