1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. Sannsynlighet og statistikkChevronRight
  4. Forventningsverdi, varians og standardavvikChevronRight
  5. Forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordelingChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling

Vi skal komme fram til formler for forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling. Formlene gjelder for en stokastisk variabel som teller antall "suksesser" når vi trekker mange ganger.

Multiple choice test

En binomisk forsøksrekke består av n delforsøk med samme sannsynlighet for «suksess». Vi ser på en matematikkprøve med fire deloppgaver, hver med fire svaralternativer.

Vi lar den stokastiske variabelen Y være antall riktige svar på én oppgave. Y kan da ha verdien 0 eller 1. 0 svarer til at svaret er feil («fiasko»), og 1 at svaret er riktig («suksess»).

y10Sum
P(Y=y) 14 34 1
y·P(Y=y) 1·14 0·34 μ = EY=1·14+0·34=14
(Yμ)2·P(Y=y)
1-142·14 0-142·34VarY = 342·14+-142·34        =34·1434+14=316

Den stokastiske variabelen som viser antall riktige svar når prøven består av 4 oppgaver, betegner vi som S4, summen av antall rette på 4 oppgaver.

S4=Y1+Y2+Y3+Y4

Fra avsnittet Forventningsverdi og varians for summer av stokastiske variabler så vi at

ES4=4·EY=4·14=1  og VarS4=4·VarY=4·316=1216=34

Generelt binomisk forsøk

Vi skal nå se helt generelt på et binomisk forsøk med n delforsøk. Sannsynligheten for «suksess» er den samme i hvert delforsøk, og vi setter denne lik p.

Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen med forventningsverdi og varians for hvert enkelt delforsøk.

y10Sum
P(Y=y)p1-p
y·P(Y=y) 1·p 0·1-p EY = 1·p+0·1-p=p
(Yμ)2·P(Y=y)
1-p2·p 0-p2·1-pVarY = 1-p2·p+0-p2·1-p         =1-p2·p+p2·1-p         =p1-p1-p+p         =p1-p

Vi lar nå den stokastiske variabelen stå for antall «suksess» når vi har n uavhengige delforsøk.

S=Y1+Y2+ ... +Yn

Da er

μ=ES=n·EY=n·p   og  VarS=n·VarY=n·p·1-p

Forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling

La X være antall «suksesser» i en binomisk forsøksrekke med n uavhengige delforsøk, hvert med sannsynlighet p for «suksess».

Forventningsverdien og standardavviket til X er da gitt ved

μ=EX=npog σ=np1-p

Læringsressurser

Forventningsverdi, varians og standardavvik