1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. Sannsynlighet og statistikkChevronRight
  4. Forventningsverdi, varians og standardavvikChevronRight
  5. Varians og standardavvikChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Varians og standardavvik

Selv om gjennomsnittskarakteren i to klasser er lik, kan det være større spredning på karakterene i den ene klassen enn i den andre. Det finnes flere måter å måle denne spredningen på.

Vi ser på eksempelet hvor X er karakteren til en tilfeldig valgt elev i en S2-gruppe. Se også siden Gjennomsnitt og forventningsverdi.

Søylediagrammet nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen til X.

Sannsynlighetsfordelingen til X. Illustrasjon.

Forventningsverdien forteller hva gjennomsnittet av karakterene vil nærme seg mot hvis vi trekker en elev fra klassen tilfeldig mange nok ganger.

Vi ønsker også mål for spredningen i fordelingen. Er det stor variasjon i karakterene?

Vi kan måle spredningen i et tallmateriale med variasjonsbredden. Variasjonsbredden er forskjellen mellom største verdi og minste verdi. Variasjonsbredden her er 61=5 .

At variasjonsbredden er fem, forteller oss at forskjellen mellom høyeste og laveste karakter i gruppen er fem. Det er altså minst én elev i gruppen som har fått karakteren 6 og minst én elev som har fått karakteren 1. Hvordan karakterene ellers fordeler seg, sier dette spredningsmålet ingenting om.

Vi skal nå definere et nytt mål for spredning, standardavvik. Standardavviket til en stokastisk variabel forteller om spredningen av verdiene til den stokastiske variabelen.

Når det gjelder karakterfordelingen ovenfor, ligger for eksempel verdien X=6 langt fra forventningsverdien og bidrar til spredning, men siden sannsynligheten for verdien er liten, blir bidraget ikke så stort. Dette tar vi hensyn til ved å bruke produktet av avstanden fra forventningsverdien og størrelsen på sannsynligheten til verdien som verdiens bidrag til spredningen.

Summen av produktene (xμ)·P(X=x) blir da et mål for spredningen i datamaterialet. Problemet er at dette produktet blir negativt for verdier mindre enn forventningsverdien og positivt for verdier større enn forventningsverdien, og at produktene derfor utjevner hverandre.

Vi løser problemet ved å kvadrere avstandene til forventningsverdien.

Varians

Vi kaller summen av produktene x-μ2·PX=x for variansen til X.

VarX=xi-μ2·PX=xi hvor xi er de verdier X kan ha.

Nedenfor har vi satt opp sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen X i eksempelet med karakterene i S2-gruppen og regnet ut forventningsverdien μ.

Sannsynlighetsfordelingen til X
x P(X=x) x·P(X=x)
1 2300,07 0,07
2 8300,27 0,53
3 7300,23 0,70
4 5300,17 0,67
5 7300,23 1,17
6 1300,03 0,20
Sum 1 μ=3,3

Vi kan regne ut variansen i karakterfordelingen som vist nedenfor. Vi regner nå med 3 desimalers nøyaktighet.

VarX=xi-μ2·PX=xi = 1-3,3312·0,067+2-3,3312·0,267+3-3,3312·0,233          +4-3,3312·0,167+5-3,3312·0,233+6-3,3312·0,033=0,364+0,473+0,026+0,075+0,649+0,235=1,822

I dette tilfellet er regningen for komplisert til å ta for hånd. Men du kan legge inn sannsynlighetsfordelingen i et regneark. Så kan du legge inn formler for forventningsverdi og varians i én aktuell rute, og deretter kopiere dem til de andre aktuelle rutene. Da får du en tabell som gir fullstendig oversikt, se lenger ned på siden.

Kvadratroten av variansen til en stokastisk variabel kaller vi standardavvik. Standardavvik er det mest brukte spredningsmålet.

Hvis den stokastiske variabelen X har benevning, vil variansen ha som benevning kvadratet av benevningen til X. Standardavviket vil derimot ha samme benevning og kan derfor være enklere å forholde seg til.

Standardavvik

Standardavviket til en stokastisk variabel X er kvadratroten av variansen til X.

Vi bruker betegnelsen SD(X) eller den greske bokstaven «sigma», σ, for standardavviket.

σ=SD(X)=VARx

Standardavviket er det mest brukte spredningsmålet.

Nedenfor kan du se hvordan hele utregningen kan se ut i et regneark.

A B C D
1 Varians og standardavvik i karakterfordelingen i en S2-gruppe
2 x P(X = x) x·P(X = x) (x - μ)^2·P(X = x)
3 1 0,067 0,067 0,363
4 2 0,267 0,533 0,474
5 3 0,233 0,700 0,026
6 4 0,167 0,667 0,074
7 5 0,233 1,167 0,648
8 6 0,033 0,200 0,237
9 Sum 1,000 3,333 1,822
10 Forventningsverdi μ Varians Var(X)
11 Standardavvik σ = SD(X) = 1,350
A B C D
1 Varians og standardavvik i karakterfordelingen i en S2-gruppe
2 x P(X = x) x·P(X = x) (x - μ)^2·P(X = x)
3 1 =2/30 =A3*B3 =(A3-C$9)^2*B3
4 2 =8/30 =A4*B4 =(A4-C$9)^2*B4
5 3 =7/30 =A5*B5 =(A5-C$9)^2*B5
6 4 =5/30 =A6*B6 =(A6-C$9)^2*B6
7 5 =7/30 =A7*B7 =(A7-C$9)^2*B7
8 6 =1/30 =A8*B8 =(A8-C$9)^2*B8
9 Sum =SUM(B3:B8) =SUM(C3:C8) =SUM(D3:D8)
10 Forventningsverdi μ Varians Var(X)
11 Standardavvik σ = SD(X) = =SQRT(D9)

Her kan du se utregningene i et ekte regneark.

Kast med to mynter

Utfall ved kast av mynt. Foto.

Her kan vi regne ut forventningsverdi og varians uten å bruke digitale verktøy.

Vi definerte tidligere den stokastiske variabelen X som antall kron og fikk da sannsynlighetsfordelingen nedenfor.

x 012
P(X = x)0,250,50,25

Forventningsverdien er da

μ=EX=0·0,25+1·0,50+2·0,25=1

Variansen er

VarX = 0-12·0,25+1-12·0,50+2-12·0,25=0,25+0+0,25=0,50

Vi setter resultatene inn i tabellen.

x012Sum
P(X=x)0,250,500,251
x·P(X=x)00,500,50 μ=1,00
(xμ)2·P(X=x)0,2500,25 Var(X)=0,50

Standardavviket er

σ=SDX=VarX=0,50

Læringsressurser

Forventningsverdi, varians og standardavvik