SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Forventningsverdi

En stokastisk variabel vil alltid ha en forventet verdi.

Terning. Foto.

Nedenfor har vi satt opp sannsynlighetsmodellen for «Kast med én terning».

Antall øyne123456
Sannsynlighet161616161616

Vi innfører nå den stokastiske variabelen X som antall øyne ved kast av en terning.

Nedenfor har vi satt opp sannsynlighetsfordelingen til X.

x
123456
P(X=x)161616161616

De store talls lov sier at hvis vi kaster en terning mange nok ganger, vil vi få like mange enere, toere, treere, firere, femmere og seksere.

Gjennomsnittet blir

1+2+3+4+5+66=3,5

Dette tallet kaller vi for det forventete resultatet ved kast av en terning selv om det ikke er mulig å få akkurat den forventede verdien.

Hvis vi multipliserer hvert utfall med sannsynligheten for å få akkurat dette utfallet og til slutt summerer de svarene vi får, finner vi forventningsverdien til den stokastiske variabelen X.

Forventningsverdien når vi kaster en terning blir da

1·PX=1 + 2·PX=2+3·PX=3+4·PX=4+5·PX=5+6·PX=6=1·16+2·16+3·16+4·16+5·16+6·16=1+2+3+4+5+66=216=72=3,5

På denne måten finner vi det forventete antall øyne ved kast med en terning. Det tilsvarer gjennomsnittet av antall øyne hvis vi kaster mange nok ganger.

Vi bruker to skrivemåter for forventningsverdi, den greske bokstaven μ («my») og stor bokstav E (fra engelsk «expectation»). Skrivemåten E(X) betyr forventningsverdien til den stokastiske variabelen X.

Forventningsverdi

La X være en stokastisk variabel og x1 , x2 ,..., xn de verdiene X kan ha.

Da defineres forventningsverdien til X som

μ = EX=x1·PX=x1 + x2·PX=x2+ ... +xn·PX=xn=i=1nxi·PX=xi

Legg merke til hvordan vi bruker den greske bokstaven Σ («sigma») for å skrive summen av flere ledd på en enklere måte.

Terning. Foto.

For forsøket «Kast av én terning» kan vi da sette opp denne tabellen:

x123456Sum
P(X=x)1616161616161
x·P(X=x)1626=1336=1246=23561
μ=3,50

Regneark egner seg også godt for å finne forventningsverdi, og da kan det se ut som nedenfor.

A B C D E F G H
1 Kast med én terning
2 x
1 2 3 4 5 6 Sum
3 P(X=x)
0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 1,0000
4 x·P(X=x)
0,1667 0,3333 0,5000 0,6667 0,8333 1,0000 3,5000
A B C D E F G H
1 Kast med én terning
2 x
1 2 3 4 5 6 Sum
3 P(X=x)
=1/6 =1/6 =1/6 =1/6 =1/6 =1/6 =SUM(B3:G3)
4 x·P(X=x) =B2*B3 =C2*C3 =D2*D3 =E2*E3 =F2*F3 =G2*G3 =SUM(B4:G4)

Her kan du se utregningene i et ekte regneark.

Flervalgsprøve. Foto.

Vi ser nå på matematikkprøven med fire oppgaver, hver med fire svaralternativer, som du finner på siden Binomisk sannsynlighetsfordeling. Her er X den stokastiske variabelen for antall riktige svar på prøven ved tilfeldig avkrysning, mens k er verdiene X kan ha. Ved å gjøre som ovenfor, får vi følgende regneark:

A B C D E F G
1 Matematikkprøve med 4 spørsmål, hver med 4 svaralternativer
2 k
0 1 2 3 4 Sum
3 P(X=x)
0,316 0,422 0,211 0,047 0,004 1,000
4 x·P(X=x)
0,000 0,422 0,422 0,141 0,016 1,000
A B C D E F G
1 Matematikkprøve med 4 spørsmål, hver med 4 svaralternativer
2 k
0 1 2 3 4 Sum
3 P(X=x)
=BINOMDIST(B2;4;0,25;FALSE()) =BINOMDIST(C2;4;0,25;FALSE()) =BINOMDIST(D2;4;0,25;FALSE()) =BINOMDIST(E2;4;0,25;FALSE()) =BINOMDIST(F2;4;0,25;FALSE()) =SUM(B3:F3)
4 k·P(X=x)
=B2*B3 =C2*C3 =D2*D3 =E2*E3 =F2*F3 =SUM(B4:F4)

Det er brukt formel for binomisk sannsynlighet. Her kan du se utregningene i et ekte regneark.

Forventningsverdien for antall riktige svar ved tilfeldig avkrysning er μ=1,00. Dette betyr at hvis veldig mange elever avlegger en slik prøve ved tilfeldig avkrysning, er det i gjennomsnitt ett riktig svar per besvarelse.

Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra gir oss all informasjonen vi har ovenfor. Det betyr at hvis den stokastiske variabelen vi jobber med for eksempel er binomisk, hypergeometrisk eller normalfordelt, kan vi lese av forventningsverdien μ (og standardavviket σ) direkte i kalkulatorvinduet. Da er det ikke nødvendig å sette opp et regneark.

GeoGebra sannsynlighetskalkulator brukt på eksempelet med 4 spørsmål, hver med 4 svaralternativer. Utklipp.

I eksempelet med kast med én terning kan vi ikke bruke sannsynlighetskalkulatoren. Hvorfor ikke?

Læringsressurser

Forventningsverdi, varians og standardavvik