1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. FunksjonsdrøftingChevronRight
  5. Drøfting av en sammensatt funksjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Drøfting av en sammensatt funksjon

Hvordan kan vi bruke CAS til å drøfte en funksjon?

Vi skal drøfte den generelle funksjonen f gitt ved

f(x)=a·x·e-kx

hvor a og k er tall som ikke er negative.

Vi skal parallelt drøfte spesialtilfellet hvor a=5 og k=12, altså

gx=5·x·e-12x

Vi drøfter funksjonene i CAS.

Drøfting av sammensatt funksjon i CAS. Både den spesielle og den generelle varianten av funksjonen drøftes. CAS-utklipp.

Linje 2 viser at både f og g har  x=0  som eneste nullpunkt. Kan du se hvorfor?

Linje 3 viser at f har den positive verdien  x=1k  som eneste ekstremalpunkt, og linje 4 viser at dette er et maksimalpunkt siden den dobbeltderiverte her alltid er negativ.

Linje 6 sammen med linje 4 og 7 viser at f kun har vendepunkt for  x=2k .

Uttrykket i linje 4 er alltid negativt, og uttrykket i linje 7 er alltid positivt.

Linje 5 gir maksimalverdien, og linje 8 gir andrekoordinaten til vendepunktet.

Sjekk med verdiene for funksjonen g og se at verdiene stemmer med de generelle uttrykkene.

La oss prøve dette i GeoGebra. Lag først gliderne a og k hvor for eksempel a kan variere mellom 0 og 2 og k for eksempel mellom 0 og 20.

Skriv så "h(x)=Funksjon[a·x·e^(-k·x), 0, inf]" i algebrafeltet (på skrivelinjen). Hva tror du "inf" betyr?

Skriv inn punktene A(1k, h(1k)) og B(2k, h(2k)). Forklar hvorfor punktene ligger på grafen til h.

Forklaring

Punktene ligger på grafen til h fordi y-koordinaten til hvert av punktene regnes ut ved å sette den tilhørende x-koordinaten inn i funksjonen h.

Nedenfor kan du variere gliderne a og k i det interaktive GeoGebra-arket. (Kommer)

Prøv selv!

Utforsk den sammensatte funksjonen!

Kan det stemme at punktet A alltid er toppunktet, og punktet B alltid er vendepunktet?

Stemmer det at funksjonen h alltid har x=0 som eneste nullpunkt?

Kan du tenke deg noen fenomener hvor funksjonen h kan være modell for utviklingen? Hva med interessen for Facebook? Hvor på kurven er vi i tilfelle nå?

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting