Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. FunksjonsdrøftingChevronRight
  5. Drøfting av en sammensatt funksjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Drøfting av en sammensatt funksjon

Hvordan kan vi bruke CAS til å drøfte en funksjon?

Vi skal drøfte den generelle funksjonen f gitt ved

f(x)=a·x·e-kx

hvor a og k er tall som ikke er negative.

Vi skal parallelt drøfte spesialtilfellet hvor a=5 og k=12, altså

gx=5·x·e-12x

Vi drøfter funksjonene i CAS.

Drøfting av sammensatt funksjon i CAS. Både den spesielle og den generelle varianten av funksjonen drøftes. CAS-utklipp.

Linje 2 viser at både f og g har  x=0  som eneste nullpunkt. Kan du se hvorfor?

Linje 3 viser at f har den positive verdien  x=1k  som eneste ekstremalpunkt, og linje 4 viser at dette er et maksimalpunkt siden den dobbeltderiverte her alltid er negativ.

Linje 6 sammen med linje 4 og 7 viser at f kun har vendepunkt for  x=2k .

Uttrykket i linje 4 er alltid negativt, og uttrykket i linje 7 er alltid positivt.

Linje 5 gir maksimalverdien, og linje 8 gir andrekoordinaten til vendepunktet.

Sjekk med verdiene for funksjonen g og se at verdiene stemmer med de generelle uttrykkene.

La oss prøve dette i GeoGebra. Lag først gliderne a og k hvor for eksempel a kan variere mellom 0 og 2 og k for eksempel mellom 0 og 20.

Skriv så "h(x)=Funksjon[a·x·e^(-k·x), 0, inf]" i algebrafeltet (på skrivelinjen). Hva tror du "inf" betyr?

Skriv inn punktene A(1k, h(1k)) og B(2k, h(2k)). Forklar hvorfor punktene ligger på grafen til h.

Forklaring

Punktene ligger på grafen til h fordi y-koordinaten til hvert av punktene regnes ut ved å sette den tilhørende x-koordinaten inn i funksjonen h.

Nedenfor kan du variere gliderne a og k i det interaktive GeoGebra-arket. (Kommer)

Prøv selv!

Utforsk den sammensatte funksjonen!

Kan det stemme at punktet A alltid er toppunktet, og punktet B alltid er vendepunktet?

Stemmer det at funksjonen h alltid har x=0 som eneste nullpunkt?

Kan du tenke deg noen fenomener hvor funksjonen h kan være modell for utviklingen? Hva med interessen for Facebook? Hvor på kurven er vi i tilfelle nå?

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting