Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. FunksjonsdrøftingChevronRight
  5. Drøfting av eksponentialfunksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Drøfting av eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjoner kan drøftes på tilsvarende måte som polynomfunksjoner.

Eksempel

Som eksempel skal vi drøfte funksjonen f gitt ved fx=5x·e-x2.

Definisjonsmengde

Eksponentialfunksjoner er definert for alle verdier av x og Df=.

Nullpunkter

For å finne eventuelle nullpunkter løser vi likningen fx=0.

fx = 05x·e-x2=05x=0   e-x2=0x=0           e-x20, 

f har nullpunktet (0, 0).

Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter

For å undersøke monotoniegenskaper og finne eventuelle topp- og bunnpunkter ser vi på fortegnet til f'x.

Når vi skal derivere fx må vi bruke produktregelen og kjerneregelen:

fx = 5x·e-x2f'x=5·e-x2+5x·e-x2·-12=5·e-x2·1-x2

Vi finner nullpunktene til f'(x).

             f'x = 05·e-x2·1-x2=0            1-x2=0                x2=1                 x=2

Videre må vi regne ut en verdi for f'(x) på hver side av løsningen.

f'(0) = 5·e-02·1-02=5·1·1=5>0f'(3) = 5·e-32·1-32=5·e-32·-12<0

Vi tegner så fortegnslinjen for f'x.

Fortegnslinje eksponentialfunksjon

Av fortegnslinjen til f'x kan vi lese at grafen til f stiger i intervallet , 2 og synker i intervallet 2, .

Vi ser også at grafen til f har et toppunkt når x=2.

f2=5·2·e-22=10·e-1=10e

Toppunktet har koordinatene 2, 10e.

Krumningsforhold og vendepunkter

For å undersøke krumningsforhold og finne eventuelle vendepunkter ser vi på fortegnet til f''x.

f'x = 5·e-x2·1-x2f''x=5·e-x2'·1-x2+5·e-x2·1-x2'=5·e-x2·-12·1-x2+5·e-x2·-12=-125·e-x2·1-x2+1=-52·e-x2·2-x2

Vi finner nullpunktene til f''(x).

                 f''x = 0-52·e-x2·2-x2=0                2-x2=0                      x=4

Videre regner vi ut en verdi for f''(x) på hver side av løsningen.

f''0 = -52·e-02·2-02=-52·1·2<0f''5=-52·e-52·2-52=-52·e-52·-12>0

Vi tegner så fortegnslinjen for f''x.

Fortegnslinje dobbeltderivert

Av fortegnslinjen til f''x kan vi lese at grafen til f vender sin hule side ned i intervallet , 4 og vender sin hule side opp i intervallet 4, .

Vi ser også at grafen til f har et vendepunkt når x=4.

f4=5·4·e-42=20·e-2=20e2

Vendepunktet har koordinatene 4, 20e2.

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å lage en skisse av grafen for hånd. (Her har vi tegnet grafen i GeoGebra.)

Graf eksponentialfunksjon

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting