Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. FunksjonsdrøftingChevronRight
  5. Drøfting av logaritmefunksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Drøfting av logaritmefunksjoner

Ved drøfting av logaritmefunksjoner må vi huske på at det mest sannsynlig vil være begrensninger i hvilke x-verdier som er aktuelle.

Som eksempel skal vi drøfte funksjonen f gitt ved

fx=lnx2-1.

Definisjonsmengde

Ifølge definisjonen til den naturlige logaritmen, a=elna , er den naturlige logaritmen til et tall, a, det tallet du må opphøye tallet e i for å få tallet a . Siden elna alltid er positivt, så må også a alltid være positivt. Det vil si at den naturlige logaritmen bare er definert for positive tall.

Vår funksjon f gitt ved fx=lnx2-1, er altså bare definert for x2-1>0.

Vi tegner fortegnslinjen for x2-1. Her ser vi kanskje raskt hva nullpunktene til uttrykket er uten å regne på det?

Fortegnslinje logaritmefunksjon

Funksjonen er definert for x, -11, .

Nullpunkter

      fx = 0lnx2-1=0     x2-1=1         x2=2         x=-2    x=2

Monotoniegenskaper og topp- og bunnpunkter

Vi undersøker fortegnet til f'x.

Når vi skal derivere fx, må vi bruke kjerneregelen, som ser slik ut:

f(x) = g(u(x))f'(x)=g'(u)·u'(x)

Vi får

fx = lnx2-1gu=ln(u)    ,                  u=x2-1g'u=1u      ,                   u'=2xf'x=g'u·u'x=1u·u'=1x2-1·2x=2xx2-1

Vi tegner så fortegnslinjen for f'x. Den deriverte er bare lik null når x=0. Men dette er utenfor definisjonsmengden til funksjonen.

Fortegnslinje derivert logaritmefunksjon

Av fortegnslinjen til f'x kan vi lese at grafen synker i intervallet , -1 og stiger i intervallet 1, . Vi får derfor ingen stasjonære punkter, som betyr ingen topp-, bunn- eller terrassepunkter.

Krumningsforhold og vendepunkter

Vi undersøker fortegnet til f''x. Når vi skal finne den andrederiverte, bruker vi derivasjonsregelen for kvotient (brøk).

f'x = 2xx2-1=uv   ,     u=2x , v=x2-1f''x=u'·v-v'·uv2=2·x2-1-2x·2xx2-12=-2x2-2x2-12=-2x2+1x2-1

Nevneren i denne brøken er alltid positiv i definisjonsområdet. Faktoren x2+1 i telleren er også alltid positiv. Det betyr at den dobbeltderiverte alltid er negativ og grafen vil derfor alltid vende sin hule side ned. Grafen har ikke noen vendepunkt.

Nå kjenner vi så mye til grafens forløp at det er relativt enkelt å lage en skisse av grafen for hånd. (Grafen er her laget i GeoGebra.)

Graf logaritmefunksjon

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting