Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. FunksjonsdrøftingChevronRight
  5. Ekstremalpunkter og stasjonære punkterChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Ekstremalpunkter og stasjonære punkter

Hva er forskellen på et ekstremalpunkt og en ekstremalverdi? Her prøver vi å rydde opp i disse to begrepene og noen andre også.

Ekstremalpunkter og -verdier

Maksimalpunkter og minimalpunkter kaller vi med en fellesbetegnelse ekstremalpunkter. Dette er førstekoordinaten til et toppunkt eller et bunnpunkt. På tilsvarende vis kaller vi andrekoordinaten til et toppunkt en maksimalverdi til funksjonen og andrekoordinaten til et bunnpunkt en minimalverdi. Begge disse er ekstremalverdier.

Noen funksjoner kan ha flere topp- eller bunnpunkter. Derfor er maksimal- og minimalverdiene ofte bare lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.

Terrassepunkt

Vi skal ved regning finne når funksjonen f gitt ved fx=x3 vokser og når den avtar. Videre skal vi finne eventuelle ekstremalpunkter.

Løsning

Vi deriverer fx.

f'x=3x2

Vi setter så f'x=0.

f'x = 0  3x2=0    x=0

Vi får bare én løsning.

Vi tar stikkprøver i hvert av de to intervallene , 0 og 0, .

f'(-1) = 3·-12=3>0f'1=3·12=3>0

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f'x.

Tegning av fortegnslinjen til den deriverte. Bilde.

Denne fortegnslinjen er spesiell siden den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet.
Grafen har verken topp- eller bunnpunkt for x=0. Men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for x=0. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Koordinatsystem med graf som har terassepunkt. Bilde.

Stasjonære punkter

Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn, er det stasjonære punktet et topp-eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, er det stasjonære punktet et terrassepunkt.

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting