1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. FunksjonsdrøftingChevronRight
  5. Krumningsforhold og vendepunkterChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Krumningsforhold og vendepunkter

Vi har også god nytte av den andrederiverte (dobbeltderiverte) til en funksjon.

Funksjonen f er gitt ved

fx=13x3-12x2-2x+1

Denne funksjonen er også drøftet i eksempel 2 på siden Monotoniegenskaper og drøfting av polynomfunksjoner.

Vi deriverer funksjonen 2 ganger. Da får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte f''x.
Legg merke til skrivemåten, nå med to apostrofer.

fx=13x3-12x2-2x+1f'x=x2-x-2f''x=2x-1

Vi tegner fortegnslinja til f''x og grafen til selve funksjonen i samme koordinatsystem.

Krumningsforhold

Det viser seg at

  • en graf vender sin hule side opp når f''x>0
  • en graf vender sin hule side ned når f''x<0
  • en graf kan ha et vendepunkt når f''x=0

At grafen vender sin hule side opp, f''x>0, betyr at den deriverte vokser. Det vil si at selve funksjonen vokser mer og mer eller avtar mindre og mindre.

At grafen vender sin hule side ned, f''x<0, betyr at den deriverte avtar. Det vil si at selve funksjonen avtar mer og mer eller vokser mindre og mindre.

Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles for et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles for en vendetangent.

Den deriverte har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet.

Merk at et punkt ikke trenger være et vendepunkt selv om den dobbeltderiverte er null i punktet. Den dobbeltderiverte må også skifte fortegn! Derfor har funksjonen på bildet over et vendepunkt for x=12

Toppunkt eller bunnpunkt? Dobbeltderiverttesten!

Skjermbilde av å beregne dobbelderivert i CAS GeoGebra. Bilde.

Vi har brukt fortegnslinje til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er maksimalpunkt eller minimalpunkt.

Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette

Gitt funksjonen f(x) definert i CAS-vinduet.

Siden f'-1=0 og f''-1 er negativ, har grafen «hul side ned» og
x=-1 er et maksimalpunkt.

Siden f'2=0 og f''2 er positiv, har grafen «hul side opp» og
x=2
er et minimalpunkt.

Grafen har toppunkt -1, 136

Grafen har bunnpunkt 2, -73

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting