Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. FunksjonsdrøftingChevronRight
  5. Monotoniegenskaper og drøfting av polynomfunksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Monotoniegenskaper og drøfting av polynomfunksjoner

Vi kan bruke den deriverte til å finne topp- og bunnpunkter på grafen til en funksjon og til å bestemme hvor grafen stiger og synker. Dette kan vi gjøre ved regning, uten å tegne grafen.

Monotoniegenskaper

Å finne ut hvor grafen til en funksjon stiger og hvor grafen synker, kalles for å drøfte funksjonens monotoniegenskaper.

Å drøfte en funksjon betyr gjerne at vi skal undersøke monotoniegenskapene og bestemme topp- og bunnpunkter på grafen. Vi kan også bli bedt om å bestemme nullpunkter, definisjonsmengde, krumming og vendepunkt (se avsnittet om krumningsforhold og vendepunkt).

Drøfting av polynomfunksjoner

Utfordring

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved

fx=13x3-12x2-2x+1.

Tegn deretter tangenter til grafen for noen x-verdier mellom -2 og 3.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og hvorvidt grafen stiger, synker eller har topp-/bunnpunkter.

Tangenter til tredjegradsfunksjon

Du vil oppdage at

  • stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger
  • stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker
  • stigningstallet til tangenten er 0 i topp- og bunnpunkt

Tangentens stigningstall er lik den deriverte til funksjonen

Når grafen stiger, er den deriverte positiv.

Når grafen synker, er den deriverte negativ.

Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er den deriverte lik 0.

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av x grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av x den synker, og når den har topp- eller bunnpunkt ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi viser dette gjennom noen eksempler.

Eksempel 1

Finn ved regning, når grafen til funksjonen f gitt ved fx=-x2+4x-3 stiger, og når den synker. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen.

Løsning

Vi deriverer fx

fx = -x2+4x-3f'x=-2x+4

Vi setter så f'x=0

   f'x = 0-2x+4=0    -2x=-4        x=2

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige x-verdier i hvert av de aktuelle intervallene , 2 og 2,  for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

f'0 = -2·0+4=4>0f'3=-2·3+4=-2<0

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f'x

Fortegnslinje eksempel 1

Vi ser av fortegnslinjen at fx vokser for x, 2 og at fx minker når x2, .

Grafen til fx har derfor et toppunkt når x=2. Toppunktet er

2, f2=2, 1

fordi

f2=-22+4·2-3=1

Vi sier at funksjonen har maksimalpunkt x=2 og maksimalverdi f(2)=1.

Vi tegner grafen i GeoGebra, og ser at det vi har funnet ut ved regning er riktig.

Derivasjon i GeoGebra. Foto

Eksempel 2

Funksjonen f er gitt ved

fx=13x3-12x2-2x+1

Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.

Løsning

Vi deriverer fx.

fx = 13x3-12x2-2x+1f'x=13·3·x2-12·2·x1-2=x2-x-2

Vi setter så f'x=0

    f'x = 0x2-x-2=0         x=--1±-12-4·1·-22·1         =1±92         x1=-1         x2=2

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene , -1, -1, 2 og 2,  for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

f'-2 = -22--2-2=4>0f'0=02-0-2=-2<0f'3=32-3-2=4>0

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f'x.

Fortegnslinje eksempel 2

Vi ser av fortegnslinjen at

  • grafen stiger for x, -12, 
  • grafen synker for x-1, 2

Grafen til fx har altså et toppunkt når x=-1 og et bunnpunkt når x=2.

f1 = 13-13-12-12-2-1+1=-13-12+2+1     =-26-36+126+66=136f2=1323-1222-22+1=83-42-4+1     =166-126-246+66=-146=-73

Toppunktet er -1, f-1=-1, 136

Bunnpunktet er 2, f2=2, -73

Vi sier at funksjonen har maksimalpunkt eller maksimumspunkt x=-1 og maksimalverdi eller maksimumsverdi f-1 =136

Vi sier at funksjonen har minimalpunkt eller minimumspunkt x=2 og minimalverdi eller minimumsverdi f2=-73

Vi tegner grafen i GeoGebra, og ser at det vi har funnet ut ved regning er riktig

Maksimalpunkt og minimalpunkt eksempel GeoGebra. foto

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting