1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. Lineær optimeringChevronRight
  4. Jordbær eller moreller?ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Jordbær eller moreller?

I dette eksempelet må Ida vurdere hvor stor del av arealet på småbruket som skal brukes til å dyrke jordbær og hvor stor del som skal brukes til å dyrke moreller for at fortjenesten skal bli så stor som mulig. Vi bruker lineær optimering for å løse denne oppgaven.

Ida har arvet et lite småbruk etter besteforeldrene sine. Småbruket har et dyrkbart areal på 32 daa. Ida lurer på om det er mulig å skaffe seg et levebrød av småbruket slik at hun kan bosette seg der.

Småbruket er så lite at det ikke er aktuelt med husdyrhold. Hun vurderer derfor å dyrke frukt eller bær og bestemmer seg for å satse på jordbær og moreller.

Ida ser fort at hun må gjøre en del investeringer, og at det vil kreve mye arbeid å dyrke bær. Før hun går i gang, vil hun derfor undersøke hvor stor inntekt hun kan forvente å få.

Jordbær
Jordbær?

Hun vil også prøve å finne ut hvor stort område hun bør bruke til moreller, og hvor stort område hun bør bruke til jordbær for at fortjenesten skal bli størst mulig

Kostnadene per dekar er forskjellige for jordbær og moreller. Inntektene er også forskjellige.

Ida har fått innvilget et lån på 1,5 millioner kroner til nødvendige investeringer, og hun ønsker å arbeide full tid på småbruket hvis hun kan få en inntekt det er mulig å leve av.

Ida stiller seg da følgende spørsmål:

Bilde av moreller
Moreller?

• Hvor stor del av arealet på småbruket skal jeg bruke
til
moreller, og hvor stor del skal jeg bruke til jordbær?

• Hva er den mest gunstige arealfordelingen for å sikre
en høyest mulig inntekt?

Ida bruker sine matematikkunnskaper og kaller arealet som skal brukes til moreller, for x, og arealet som skal brukes til jordbær, for y.

Idas oppgave blir da å finne de mest gunstige verdiene for x og y. Først må hun finne de mulige verdiene for x og y.

Arealbegrensninger

Koordinatsystem, Arealbegrensning

Første betingelse er at det samlede arealet må være mindre enn eller lik 32 daa. Matematisk kan dette skrives som x+y32. Vi kan da maksimalt ha at x+y=32. Dette er en likning, og når vi løser den med hensyn på y, får vi det som du kjenner igjen som likningen for en rett linje

x+y = 32    y=-x+32

Alle punkter som ligger på denne linjen, svarer til at hele arealet utnyttes. For eksempel vil punktet (9, 23) svare til at 9 daa brukes til moreller, og 23 daa brukes til jordbær mens punktet (25, 7) svarer til 25 daa med moreller og 7 daa med jordbær. I begge tilfeller blir dette til sammen 32 daa og

x+y=32

Venstresiden og høyresiden i likningen er like. Dette gjelder for alle punkter på linjen y=-x+32.

Punktet (20, 5) svarer til at 20 daa brukes til moreller, og 5 daa brukes til jordbær. Til sammen er det 25 daa. I dette tilfellet bruker ikke Ida hele arealet. Venstresiden i likningen y=-x+32 blir y=5 og høyresiden blir -x+32=-20+32=12. Her er altså venstresiden mindre enn høyresiden

y<-x+32

Dette gjelder for alle punkter som ligger under linjen y=-x+32.

Punktet (25, 25) ligger over linjen. Dette punktet svarer til at 25 daa brukes til moreller, og 25 daa brukes til jordbær. Til sammen er det 50 daa. Så stort areal har ikke Ida.

Vi kan heller ikke ha negative arealer. Det vil si at vi må ha x og y0.

Dette betyr at alle punktene i feltet som er farget rødt i koordinatsystemet ovenfor svarer til mulige arealfordelinger for Ida. For alle disse punktene er altså

x0,   y0   og   y-x+32

Idas oppgave er nå begrenset. Hun må finne det eller de punktene i det røde feltet som er mest gunstige.

Investeringsbegrensninger

Bilde av koordinatsystem

Landbruksmyndighetene forteller Ida at hun må regne med en pris på 60 000 kroner for å etablere et dekar med moreller mens det koster 30 000 kroner å etablere et dekar med jordbær.

Ida skriver også dette i et matematisk språk. Regnet i tusen kroner blir investeringskostnadene

60·x+30·y

Disse kostnadene må være lik eller mindre enn 1,5 millioner kroner. Det betyr at

60·x+30·y1500

Ved maksimal investering er

60·x+30·y=1500

Ida ser at også dette er likningen for en rett linje,

60·x+30·y = 1500          30y=-60×+1500             y=-2x+50

Legg merke til at vi vanligvis skriver for eksempel 60x i stedet for 60·x.

Vi tegner denne linjen i samme koordinatsystem som vi brukte da vi så på arealbegrensningene.

På tilsvarende måte som ved arealbegrensningene er det bare de punktene som ligger på eller under denne linjen som svarer til mulige investeringer. Det betyr at det bare er de punktene som ligger på eller under begge linjene, det vil si i det blå feltet i koordinatsystemet ovenfor, som svarer til mulige arealfordelinger når vi tar hensyn til arealbegrensningene og investeringsbegrensningene.

Arbeidsmengdebegrensning

koordinatsystem

Den siste begrensningen Ida har, er at årlig arbeidsmengde ikke må overstige 1680 timer. Hun får opplyst at hun må regne med en årlig arbeidsmengde på 30 timer per dekar moreller og 60 timer per dekar jordbær.

Ut fra dette setter Ida opp likningen

30x+60y = 1680        60y=-30x+1680           y=-0,5x+28

Vi tegner denne linjen i samme koordinatsystem som vi har brukt tidligere.

Resultatet blir at vi ender opp med punktene i det grønne arealet i koordinatsystemet til høyre som mulige arealfordelinger når vi tar hensyn til arealbegrensningene, investeringsbegrensningene og arbeidsmengdebegrensningene.

Oversikt over begrensninger

For å få oversikt, samler vi alle de opplysningene vi nå har i en tabell.

Oversikt over begrensninger
Moreller Jordbær Maks Vi må ha
Grenselinjer
Antall dekar
x y 32 x+y32y-x+32 x+y=32y=-x+32
Investerings-
behov i 1000
kroner per
dekar
Hva det koster å
etablere feltet
60 30 1500 60x+30y1 500y-2x+50 60x+30y=1 500y=-2x+50
Timeantall per
år per dekar til
vedlikehold og
drift
30 60 1680 30x+60y1 680y-0,5x+28 30x+60y=1 680y=-0,5x+28
Vi kan ikke ha
negative verdier
for arealene
x0  y0 x=0  y=0

Tabellen og den grafiske framstillingen gir nå en fullstendig oversikt over problemstillingen til Ida. For å lage den grafiske framstillingen må du tegne alle grafene angitt med likningene vist i kolonnen lengst til høyre i tabellen.

Bilde av koordinatsystem

For å tegne grafene for hånd, som du må gjøre på Del 1 av eksamen, er det lurt å omforme likningen med y alene på venstre side (fargede likninger i tabellen ovenfor). Hvis du kan bruke GeoGebra, kan du skrive inn likningene uten å omforme dem (sort skrift i tabellen).
x=0 og y=0 er likningene for henholdsvis y-aksen og x-aksen.

For hånd skraverer eller farger du mangekanten. I GeoGebra markerer du de aktuelle skjæringspunktene og tegner en mangekant som du kan fargelegge.

Inntekt som funksjon av to variabler

Moreller gir høyere inntekt per dekar enn jordbær. Ida forventer en netto inntekt på 15 000 kroner per dekar for moreller og 10 000 kroner per dekar for jordbær. Samlet nettoinntekt i tusen kroner kan da skrives som 15·x+10·y.

Vi kaller inntekten for I og får da at

I=15x+10y

For å markere at inntekten er en funksjon av to variabler, x og y, skriver vi

I(x, y)=15x+10y

Maksimal inntekt og nivålinjer

Det gjenstår å finne den arealfordelingen som gir størst inntekt. Ida drømmer om en årsinntekt opp mot 500 000 kroner.

Grafisk løsning uten digitale hjelpemidler

Bilde av koordinatsystem

En nettoinntekt på 500 000 kroner gir at

15x+10y = 50010y=-15x+500            y=-1,5x+50

Ingen punkter på denne linjen ligger i det grønne området i koordinatsystemet vårt. Det betyr at det ikke er mulig å oppnå denne inntekten med de begrensninger vi har når det gjelder areal, investeringer og arbeidsmengde.

En inntekt på 300 000 kroner gir likningen

15x+10y = 300           y=-1,5x+30

Denne linjen skjærer det grønne området, og det er mange mulige arealfordelinger som gir denne inntekten.

Ida ønsker høyest mulig inntekt. Hun ser at begge linjene har samme stigningstall og er parallelle. De representerer to forskjellige inntektsnivåer og kalles for nivålinjer.

Ved å tegne en tredje linje parallell med de to andre, som så vidt berører det grønne området, får vi den nivålinjen som representerer det høyest mulige inntektsnivået, den optimale nivålinjen, for Ida.

Bilde av koordinatsystem

Vi ser at linjen berører det grønne området i punktet (18, 14).

Ved å sette disse verdiene inn i inntektsfunksjonen finner vi den maksimale inntekten.

I(x, y) = 15x+10yI(18, 14)=15·18+10·14=410

Det betyr at Ida oppnår maksimal inntekt med en arealfordeling på 18 daa moreller og 14 daa jordbær, og at den maksimale inntekten er 410 000 kroner.

Finne koordinatene ved regning

Bilde av koordinatsystem

Vi ser at nivålinjen treffer mangekanten i skjæringspunktet mellom den blå og den røde linjen. (Se koordinatsystemet til høyre.)

I skjæringspunktet mellom to linjer er alltid y-koordinatene like hverandre. Den blå og den røde linjen skjærer altså hverandre når

-2x+50 = -x+32       -x=-18          x=18

Da er y=-18+32=14.

Som ved grafisk løsning kan vi også nå sette disse verdiene inn i inntektsfunksjonen og finne den
maksimale inntekten

I(x, y) = 15x+10yI(18, 14)=15·18+10·14=410

Det betyr at en arealfordeling med 18 daa moreller og 14 daa jordbær gir den høyeste inntekten, og den maksimale årlige inntekten Ida kan forvente, er 410 000 kroner.

Flere punkter kan gi maksimal inntekt

Legg merke til at dersom nivålinjen hadde vært parallell med en av sidene i mangekanten, så ville alle punktene på denne sidekanten gitt samme maksimale inntekt. Det var ikke tilfelle i dette eksemplet, men det kan godt inntreffe i liknende problemstillinger.

Bilde av to koordinatsystem

Nivålinjer i GeoGebra

Vi ser nærmere på inntektsfunksjonen I=15x+10y.

Denne kan omformes til

15x+10y = I       10y=-15x+I           y=1,5x+I10

For ulike verdier av I får vi parallelle nivålinjer.

I GeoGebra kan du lage en glider for inntekten i tusen kroner, I. Så skriver du inn likningen for linjen

y=-1,5x+I10

Nivålinjer i GeoGebra 2

Ved å endre inntekten (glideren) kan du parallellforskyve linjen til den bare berører det grønne området i ett punkt.

Du vil oppdage at den høyeste årsinntekten Ida kan forvente, er 410 000 kroner. For alle andre skjæringspunkter mellom linjen og det grønne området er verdien til inntekten (glideren) lavere.

Ida oppnår høyest årsinntekt dersom hun bruker 18 daa til moreller og 14 daa til jordbær.

Minimal inntekt

Du kan endre glideren slik at nivålinjen passerer gjennom det grønne arealet. Du vil da se at lavere nivålinje gir lavere inntekt. Siste kontaktpunkt mellom nivålinjen og det grønne området er punktet (0, 0). Dette punktet representerer den arealfordeling som gir minst inntekt. Ikke overraskende gir det null inntekt når du verken dyrker moreller eller jordbær.

I noen optimeringsproblemer er det minimalverdier som er mest interessante.

Lineær optimering uten nivålinjer

Bilde av koordinatsystem

Det er ikke nødvendig å bruke nivålinjer for å finne maksimalt inntektsnivå.

Generell lineær optimeringsteori sier at det alltid vil være ett eller flere av hjørnene i mangekanten som gir den største eller minste verdien.

Hvis to av hjørnene gir samme verdi, vil også alle punktene på linjestykket mellom disse punktene gi samme verdi.

Vi kan derfor nøye oss med å regne ut inntekten for de arealfordelingene som svarer til
hjørnene i mangekanten.

I(x, y)=15x+10yI(0, 0)=15·0+10·0=0I(25, 0)=15·25+10·0=375I(18, 14)=15·8+10·14=410I(8, 24)=15·8+10·24=360I(0, 28)=15·0+10·28=280

Vi ser at en arealfordeling på 18 daa moreller og 14 daa jordbær gir maksimal inntekt.

Vi ser også at 0 daa moreller og 0 daa jordbær gir den minste inntekten av de mulige arealfordelingene.

Lineær optimering handler om å finne de optimale maksimalverdier og/eller de optimale minimalverdier.

På sidene Daglig proteininntak fra egg og melk og Nøtter, rosiner og sjokolade viser vi hvordan vi kan løse et typisk optimeringsproblem ved å bruke GeoGebra.

Du bør underveis ha i tankene at du også skal kunne løse liknende problem uten digitale verktøy, både grafisk og ved regning.

Du vil forhåpentligvis se at det er små forskjeller om du løser oppgaven med eller uten digitale verktøy. Hovedproblemet er å tolke teksten og sette opp ulikhetene.

Læringsressurser

Lineær optimering

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter