Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. SannsynlighetChevronRight
  4. Binomisk sannsynlighetsmodellChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Binomisk sannsynlighetsmodell

Tenk deg at du får en matematikkprøve med fire oppgaver. Hver oppgave har fire svaralternativer, og du skal krysse av for riktig svaralternativ.

Flervalgsprøve



Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. Det vil si at hva du svarer på en oppgave, ikke påvirker svaret ditt på den neste.

Du krysser av helt tilfeldig. Sannsynligheten for å svare riktig på en oppgave er da 14, og sannsynligheten for å svare galt er 34.

Hva er sannsynligheten for å få null, ett, to, tre og fire riktige svar?

Det er bare én måte du kan få fire riktige svar på. Vi lar R stå for at et svar er riktig og G stå for at svaret er galt.

PRRRR = P(R1R2R3R4)=P(R1)·P(R2)·P(R3)·P(R4)=14·14·14·14=144

Det er også bare én måte du kan få null riktige svar på. (Her er ikke all utregningen tatt med.)

PGGGG=34·34·34·34=344

Men, hvor mange måter kan du få to riktige svar på?

Sannsynligheten for å svare riktig på det to første oppgavene (og galt på de to neste) er

PRRGG=14·14·34·34=142·342

Men, det er flere måter å få to riktige svar på. Du kan for eksempel svare riktig på de to siste oppgavene GGRR, på første og siste oppgave RGGR osv.

For å telle opp antall måter kan du lage et valgtre. Vi starter øverst på midten. For den første oppgaven tegner vi to streker på skrå nedover i hver sin retning. Den ene streken er for riktig svar, den andre for feil svar – altså én strek for hvert valg. Vi skriver også på sannsynligheten for hvert enkelt valg ved siden av valget.

Fra enden på hvert av disse to valgene tegner vi to nye streker for den andre oppgaven, for riktig og for feil svar. Slik vil antall streker doble seg for hver ny oppgave, og vi får en trestruktur. Etter fire oppgaver vil vi ha 24=16 greiner på valgtreet.

Valgtre som viser hvor mange ulike måter vi på en prøve kan få ingen riktige svar, ett riktig svar, to riktige svar og så videre når det er  totalt fire spørsmål der hvert av spørsmålene har fire alternative svar og bare ett av dem er riktig. Illustrasjon.

Valgtreet ovenfor viser hvor mange måter du kan få null, ett, to, tre og fire riktige svar på. Vi teller opp og samler resultatene i en tabell.

Antall Rette

0

1

2

3

4

Antall måter

1

4

6

4

1

Antall måter

40

41

42

43

44

Legg merke til at dette er fjerde rad i Pascals trekant.

At binomialkoeffisientene dukker opp her er ikke så underlig. Å finne antall måter å få to rette svar på er det samme som å finne antall måter vi kan velge to plasser av fire hvor det skal stå R.

Dette blir samme problemstilling som å regne ut hvor mange måter vi kan velge ut 11 spillere fra en spillerstall på 20, 7 av 34 tall på en lottokupong osv.

På siden Tre ulike typer utvalg kan du se at vi kan bruke binomialkoeffisienter for å regne ut antall kombinasjoner ved denne typen utvalg. Vi får altså at

PTo riktige svar=42·142·342

På samme måte vil da

PTre riktige svar=43·143·341

Det gjelder helt generelt. Vi antar at vi har en prøve med n oppgaver som besvares helt uavhengig av hverandre. For hver oppgave er det to muligheter, enten svarer vi riktig eller så svarer vi galt.

Sannsynligheten for å svare riktig er lik hele tiden. Vi kan kalle denne sannsynligheten for p.

Da blir sannsynligheten for å svare galt på en oppgave lik 1-p , og vi får at

Pk riktige svar=nk·pk·1-pn-k

Sammensatte forsøk som for eksempel å besvare flervalgsprøven ovenfor kaller vi binomiske forsøk. Nedenfor finner du en oppsummering som viser hva som kjennetegner binomiske forsøk.

Binomisk forsøk og binomisk sannsynlighet

I et binomisk forsøk har vi n delforsøk.

Eksempel: Svare på fire oppgaver, n=4

  • Alle delforsøkene har to mulige utfall, A eller A¯ ("ikke A", altså det motsatte av A).
    Eksempel: Riktig eller galt svar på en oppgave
  • Sannsynligheten for A er den samme hele tiden. Vi setter  p=PA. Da er  PA¯=1-p.
    Eksempel:  PRiktig svar=14  og PGalt svar=1-14=34
  • De enkelte delforsøkene er uavhengige.

La X være antall ganger utfallet A inntreffer.

Sannsynligheten for at A skal inntreffe k ganger er da gitt ved:

PX=k=nk·pk·1-pn-k

nk, «n over k», er en binomialkoeffisient.

Eksempel: Sannsynligheten for å svare riktig på to av fire oppgaver når hver oppgave har fire svaralternativer er

PTo riktige svar=42·142·342

Hvis det på del 1 på eksamen i matematikk S1 blir bruk for formelen for binomisk sannsynlighet, blir den oppgitt i eksamensoppgaven.

Terning

Å kaste en terning et bestemt antall ganger og se om vi får sekser eller ikke på hvert enkelt kast, er et annet eksempel på et binomisk forsøk. Vi kan bruke formelen ovenfor til å beregne sannsynligheten for å få et bestemt antall seksere.

En krone. Foto.

Å kaste en mynt et bestemt antall ganger og se om vi får «kron» eller «mynt» på hvert enkelt kast, er et også et eksempel på et binomisk forsøk. Vi kan bruke formelen ovenfor til å beregne sannsynligheten for å få et bestemt antall «kron».

Vi kan bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra for å regne ut binomisk sannsynlighet.

En flervalgsprøve har fem oppgaver med fire svaralternativer på hver oppgave. Du besvarer flervalgsprøven ved ren gjetning.
Du skal finne sannsynligheten for å svare riktig på akkurat én av oppgavene. Du velger «Binomisk fordeling» og fyller inn som vist nedenfor.

Binomisk fordeling Geogebra
Skjermbilde fra GeoGebra: Sannsynligheten er 0,3955.

Så vil du finne sannsynligheten for å få mer enn to riktige svar.

Binomisk fordeling GeoGebra
Skjermbilde fra GeoGebra: Sannsynligheten er 0,1035.

Læringsressurser

Sannsynlighet