Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. SannsynlighetChevronRight
  4. BinomialkoeffisienterChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Binomialkoeffisienter

Operasjonen "å trekke ut et visst antall elementer av en mengde" er så sentral at den har fått en egen matematisk skrivemåte: Binomialkoeffisienten

I oppgave 5 på siden Pascals talltrekant fant vi at vi kan trekke ut to kuler fra en hatt med fire kuler på seks ulike måter.

Elin har fire armbånd i en skuff. En dag vil hun gå med to av disse armbåndene. Hvor mange kombinasjonsmuligheter har hun?

En fotballtrener disponerer fire spisser. Han skal bruke to i en kamp. På hvor mange måter kan han komponere spissparet?

Ser du at tenkemåten blir den samme her?

Pascals talltrekant, 4 over 2

Vi kan trekke to kuler fra fire kuler, to armbånd fra fire armbånd eller to spisser fra fire spisser på seks ulike måter.

I Pascals trekant kan du følge «blå skråkurve» fra rad nummer en (den andre raden) og telle deg ned til tallet fire på rad nummer fire. I denne raden starter du fra venstre og teller ruter fra null og inn til to. Du havner da i den ruten som er markert med rødt og finner tallet seks, som altså står på rad nummer 4 og plass nummer 2.

Pascals talltrekant, 9 over 6

En volleyballtrener har ni spillere i troppen og skal ta ut et lag på seks spillere. Hvor mange ulike lag kan han sette sammen?

I Pascals talltrekant følger vi igjen «blå skråkurve» fra toppen og teller oss ned til tallet ni (på rad nummer ni). I denne raden starter vi fra venstre, teller ruter fra null og inn til seks, og havner i den ruten som er markert med rødt og inneholder tallet 84.

Det betyr at det er 84 mulige måter å sette sammen volleyballaget på. Legg merke til at tallet 84 står på rad nummer 9 og plass nummer 6, der radnummeret er hvor mange spillere det er totalt og plassnummeret er hvor mange som skal trekkes ut.

Vi så at vi kan trekke to elementer fra en mengde på fire elementer på seks ulike måter.

Dette har matematikere bestemt at vi kan skrive slik

42=6

42 leser du som «4 over 2».

På samme måte er

96=84

42 og 96 kalles binomialkoeffisienter.

nr er binomialkoeffisienten av n og r og leses som «n over r».

En annen skrivemåte er nCr. C står her for kombinasjoner (engelsk: combinations).

Tallet n står for antallet elementer totalt, og tallet r står for antallet elementer i utvalget.
I Pascals trekant står n for radnummer (når første rad har nummer null), og r står for plassnummer på ruten i raden (når vi starter fra venstre og teller ruter fra null og innover).

Pascals talltrekant, binomialkoeffisienter

Dersom vi bruker binomialkoeffisienter, kan vi fylle ut radene i Pascals trekant på måten vist til høyre der det øverste tallet i binomialkoeffisientene er radnummeret og det nederste er plassnummeret på raden.

Vi trenger ikke tegne Pascals talltrekant for å finne antall kombinasjonsmuligheter. Tallene i Pascals trekant er innebygget i de fleste digitale verktøy.

I GeoGebra for eksempel kan du bruke kommandoen nCr[<Tall>,<Tall>] hvor det første tallet er antallet elementer totalt n og det andre tallet er antallet elementer i utvalget r.

På siden Tre ulike typer utvalg skal du også lære hvordan du kan regne ut binomialkoeffisientene uten å bruke digitale verktøy.

Lurer du på hvor navnet binomialkoeffisient kommer fra?

Ta en titt på oppgave 4 på siden Pascals talltrekant!

Lottokupong
Hvor mange ulike lottorekker finnes det?

Når du fyller ut én lottorekke, velger du sju tall. Det laveste tallet du kan velge, er 1, og det høyeste er 34.

Hvor mange ulike lottorekker finnes det?

Læringsressurser

Sannsynlighet