1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. SannsynlighetChevronRight
  4. Pascals talltrekantChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Pascals talltrekant

Blaise Pascal var en kjent fransk matematiker som levde på 1600-tallet. En spesiell talltrekant har fått navnet etter Pascal selv om trekanten var kjent i mange hundre år før Pascal levde.

Blaise Pascal (1623 – 1662).  Fransk matematiker, fysiker, oppfinner og filosof.
Blaise Pascal (1623 – 1662). Fransk matematiker, fysiker, oppfinner og filosof.

Du skal bli kjent med Pascals talltrekant gjennom noen oppgaver.

Oppgave 1

Pascals talltrekant. Første rad har ett tall, 1. Andre rad har to tall, begge er 1. For hver rad øker antallet tall med én. Alle tallene som er først og sist på en rad, er 1. De andre tallene er summen av de to tallene som ligger rett over.

Lag en trekant av ruter som figuren viser. Skriv inn tallet 1 i alle rutene langs kanten av trekanten.

Vi har begynt å fylle inn tall i resten av rutene. Prøv å finne ut hvordan vi har funnet disse tallene! Fortsett etter samme mønster og fyll inn tall i alle rutene.

Av praktiske grunner er det lurt å kalle den øverste raden i Pascals talltrekant for rad nummer 0. Den andre raden blir da rad nummer 1. I trekanten ovenfor har vi valgt å lage 11 rader, som betyr at nederste rad er rad nummer 10. Trekanten kan utvides etter samme mønster.

Forklaring på tallmønsteret: Trekanten bygges opp ved å sette 1-ere på kantene, og la hvert tall innenfor 1-erne være summen av de to tallene i raden over som er på hver side av tallet. Eks: Tallet 10 på rad nummer 5 (den sjette raden) får vi ved å finne summen av de to tallene i raden over som er 4 og 6.

Pascals trekant. Fra en tysk regnebok utgitt i 1527. Her er 1-tallene langs kantene ikke tatt med. Ser du ellers at tallene i tr
Pascals trekant. Fra en tysk regnebok utgitt i 1527. Her er 1-tallene langs kantene ikke tatt med. Ser du ellers at tallene i trekanten er de samme som du fant ovenfor?

Oppgave 2
Pascals talltrekant, ferdig utfylt med tall. Illustrasjon.

a) Gå på skrå nedover fra det første 1-tallet i rad nummer en (den andre raden) i Pascals trekant. Hvilken tallrekke får du da?

b) Hvordan kan du bruke trekanten til å finne svar på regneoppgavene nedenfor?

1) 1+2=
2) 1+2+3=
3) 1+2+3+4=
4) 1+2+3+4+5+6+7+8+9=

(De aktuelle tallene er markert i trekanten til høyre dersom du trenger et hint.)

Oppgave 3
Pascals talltrekant, ferdig utfylt med tall inkludert summen av tallene på hver rad, som kan skrives som en toerpotens. Illustrasjon.

Legg sammen tallene i hver rad i Pascals talltrekant. Skriv svarene på potensform. Hva blir mønsteret? Skjønner du hvorfor det er lurt å starte radnummereringen i Pascals talltrekant på null?

Oppgave 4

En sum av to ledd kalles et binom. Bruk et digitalt verktøy og regn ut binomet (a+b)n, hvor n[0,  som vist nedenfor. Studer koeffisientene, og sammenlikn med tallene i Pascals talltrekant.

(a+b)0=1(a+b)1=1a+1b(a+b)2=1a2+2ab+1b2(a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3(a+b)4=(a+b)5=(a+b)6=

Dette mønsteret er også et argument for hvorfor vi starter radnummereringen på null i Pascals talltrekant.

Oppgave 5

Boks med tre kuler med hver sin bokstav A, B og C. Illustrasjon.

I en hatt ligger det tre kuler merket med A, B og C.

Dersom du skal trekke ut én kule fra hatten, har du tre muligheter. Du kan trekke A, B eller C.

Det finnes også tre måter å trekke ut to kuler på. Du kan trekke ut A og B, A og C eller B og C.

Det finnes bare én måte å trekke ut tre kuler på, nemlig at du trekker alle kulene A, B og C. Vi kan også si at det bare finnes én måte å trekke ut null kuler på. Du kan la være å trekke.

Vi lar det først ligge null kuler i hatten, så én kule, to kuler, deretter tre kuler osv. I hvert tilfelle undersøker vi, som ovenfor, hvor mange kombinasjoner vi kan lage av null kuler, én kule, to kuler osv.

Fyll ut tabellen nedenfor.

Elementer i
hatten
Antall elementer i uttrekk
0
1
2
3
4
5
Antall uttrekk
Ingen
1
-
-
-
-
-
A
1
1
-
-
-
-
A B
1
2
1
-
-
-
A B C
-
-
-
-
-
-
A B C D
-
-
-
-
-
-
A B C D E
-
-
-
-
-
-

Hva slags tallmønster får du når tabellen er ferdig utfylt?

Læringsressurser

Sannsynlighet