Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Vekstfart og derivasjon av funksjonerChevronRight
  5. Vekstfart til lineære funksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

Vekstfart til lineære funksjoner

Hvordan finner vi vekstfarten til lineære funksjoner?

Eksempel

Kurver med jordbær. Foto.
I dag har vi tilgang til friske bær hele året. Om sommeren dominerer de norske bærene i butikkene, mens resten av året importerer vi.

Ole selger bær på torget. Han har ei fast timelønn på 100 kroner.

I tillegg får han 3 kroner per kilo han selger. Vi lar x være antall kilo Ole selger per time og fx timelønna han oppnår.

Vi får at

fx=3x+100

Stigningstallet forteller hvor bratt grafen er. I dette tilfellet er stigningstallet et uttrykk for hvor mye timelønna øker i forhold til antall solgte kilo. Timelønna øker med 3 kroner for hver ekstra kilo Ole selger.

Derfor kaller vi også stigningstallet for vekstfarten til funksjonen.

Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen  f(x)=3x+100.

Grafen til funksjonen f av x er lik 3 x pluss 100 tegnet i et koordinatsystem der x-aksen går fra null til 45. Punktene med koordinater 20 160 og 40 220 er tegnet inn og ligger på grafen til f, og endringene i x-verdi og y-verdi fra det ene punktet til det andre er markert på figuren. Tittelen på x-aksen er antall kilogram solgte bær. Tittelen på y-aksen er timelønn, kroner. Skjermutklipp.

Figuren viser at punktene 20, 160 og 40, 220 ligger på grafen til f.


Stigningstallet blir 220-16040-20.

Dette er det samme som endring i yverdiendring i xverdi.

Vi bruker den greske bokstaven Δ (delta) for å angi endring i en størrelse.

Vi får da at

a=ΔyΔx=220-16040-20=6020=3

Legg merke til at Δx er én størrelse – det er ikke gangetegn mellom Δ og x.

Vi kan også regne oss fram til vekstfarten ved hjelp av funksjonsuttrykket:

a = ΔyΔx=f40-f2040-20=3·40+100-3·20+10020=220-16020=6020=3

Vi får samme resultat uansett hvilke to x-verdier, x1 og x2, vi velger.

Hvis vi for eksempel velger  x1=10  og  x2=50, får vi

a = ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1=f50-f1050-10=3·50+100-3·10+10040=150+100-30-10040=12040=3

Vekstfart. Stigningstall


Vi kan regne ut vekstfarten til en lineær funksjon, eller stigningstallet til ei rett linje ved å bruke formelen

a=ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1

Her er x1, fx1 og x2, fx2 to punkt som ligger på linja.

Læringsressurser

Vekstfart og derivasjon av funksjoner