1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Vekstfart og derivasjon av funksjonerChevronRight
  5. Inntekt, kostnad og overskuddChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Inntekt, kostnad og overskudd

Bedrifter som produserer og selger varer ønsker ofte funksjoner som beskriver kostnader, inntekter og overskudd ved produksjon og salg av et visst antall enheter. En aktuell problemstilling er å bruke disse funksjonene til å få overskuddet så stort som mulig.

Eksempel

Bilde av produksjon
Kostnader? Inntekt? Overskudd?

En bedrift produserer og selger en vare. De totale kostnadene K(x) i kroner ved produksjon av x enheter av varen per dag er gitt ved funksjonen

K(x)=0,021x3+0,019x2+12,21x+2992 x0, 90

Inntekten i kroner ved salg av x enheter av varen er

I(x)=660x-6x2     x0, 90

Overskuddet er differensen mellom inntekter og kostnader, og overskuddet blir derfor også en funksjon av x.

O(x)=I(x)-K(x)

Vi tegner grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem.

Bilde av koordinatsystem

Vi kan finne skjæringspunkter, toppunkter og nullpunkter grafisk i GeoGebra. Men vi kan også finne det samme ved regning i CAS i GeoGebra.

Merk at ved regning i CAS må du skrive inn funksjonene uten definisjonsmengde på skrivelinjen, eller så må du definere funksjonene på nytt i CAS ved å skrive «kolon» foran likhetstegnet, «:=».

Både grafisk løsning og regning i CAS viser følgende:

  • Finne overskuddsfunksjon i GeoGebra. Bilde.

    Kostnader og inntekter er like store når det daglig produseres 5 eller 79 enheter. Da har også overskuddsfunksjonen verdien null.

  • Negativt overskudd i Geogebra. Bilde.

    Inntektene er mindre enn kostnadene når det produseres mindre enn 5 enheter per dag og når det produseres flere enn 79 enheter per dag. Da er overskuddet negativt.

  • Positivt overskudd i GeoGebra. Bilde.

    Inntektene er større enn kostnadene når det produseres mellom 5 og 79 enheter per dag. Overskuddsfunksjonen er positiv

  • Størst overskudd beregnet i GeoGebra. Bilde.

    Overskuddsfunksjonen har en maksimalverdi når det produseres 44 enheter. Overskuddet er da på 12 070 kroner. Da er forskjellen mellom inntekter og kostnader størst.

  • Beregne toppunkt i GeoGebra. Bilde.

    Fortegnet til den deriverte i følgende to punkter viser at vi har et toppunkt.

  • Legg også merke til at inntektene er størst når det produseres 55 enheter per dag, men det er ikke denne produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Grensekostnader og grenseinntekter

Økonomer snakker også om grenseinntekter og grensekostnader.

forteller hva det koster å produsere én ekstra enhet.

Den deriverte til kostnadsfunksjonen i et punkt er lik stigningstallet til tangenten til grafen i punktet. Den deriverte verdien i et punkt gir derfor en god tilnærmet verdi av hva det koster å produsere én ekstra enhet.

Grensekostnaden ved produksjon av x enheter er derfor lik K'(x).

Tilsvarende er grenseinntekten ved produksjon av x enheter lik I'(x).

Hvis grenseinntekten er større enn grensekostnaden ved en gitt produksjon, lønner det seg å øke produksjonen.

Vi vil undersøke om det lønner seg å øke produksjonen når det produseres 50 enheter per dag.

Beregne grensekostnad i GeoGebra

Grensekostnaden er betydelig høyere enn grenseinntekten når x=50. Det vil ikke lønne seg å øke produksjon når det produseres 50 enheter per dag.

(Eksemplet bygger på en oppgave fra eksamen S1, Høsten 2008.)

Læringsressurser

Vekstfart og derivasjon av funksjoner