Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Vekstfart og derivasjon av funksjonerChevronRight
  5. Den deriverte til en potensfunksjonChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Den deriverte til en potensfunksjon

En potensfunksjon er en funksjon som inneholder en potens der den ukjente x er grunntallet i en potens.

Vi vil finne den deriverte funksjonen til fx=x2. Vi bruker definisjonen til den deriverte funksjonen.

f'x = limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx0x+Δx2-x2Δx=limΔx0x2+2·x·Δx+Δx2-x2Δx      = limΔx02·x·Δx+Δx2Δx=limΔx0Δx2·x+ΔxΔx=limΔx02x+Δx=2x

Vi har vist at x2'=2x. Tilsvarende kan vi vise at x3'=3x2 og at x4'=4x3.

Ser du mønsteret? Det kan vises at generelt er xn'=nxn-1 uansett hvilket tall n er.

Potensfunksjon: f(x)=xnf'(x)=n·xn-1

Noen eksempler
Eksempel 1 Eksempel 2 Eksempel 3
fx = x2f'x=2x2-1   =2x fx = x3f'x=3x3-1=3x2  fx = x5f'x=5x4

Potensfunksjon multiplisert med konstant

Det kan vises at følgende regel gjelder for produktet mellom en konstant og en potensfunksjon.

Potensfunksjon multiplisert med konstant: f(x)=k·xnf'(x)=k·(xn)'=k·n·xn-1

Noen eksempler
Eksempel 1 Eksempel 2
fx = 3·x2f'x=3·x2'       =3·2x      =6x

fx =  3·x4 f'x= 3·4·x4-1=12x3

Læringsressurser

Vekstfart og derivasjon av funksjoner