1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Andre funksjonerChevronRight
  5. Rasjonale funksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer. Nevneren kan ikke være null.

Polynomet i telleren eller nevneren til en rasjonal funksjon kan ha grad null, derfor er alle polynomfunksjoner, og også funksjoner som 1x, rasjonale funksjoner.

Eksempel

Funksjonen f gitt ved fx=x-2x+2 er en rasjonal funksjon.
En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Det betyr at f(-2) ikke eksisterer. Grafen har ikke noe punkt for x=-2. Vi sier at grafen har et brudd for x=-2.

Vi tegner grafen til f i GeoGebra og skriver også inn kommandoen «Asymptote[f]».

Rasjonal graf med asymptoter. Bilde.

Når x nærmer seg verdien -2 fra venstre, ser du av grafen at funksjonsverdiene vokser over
alle grenser.

Vi skriver

f(x) når x-2-

Videre ser du av grafen at funksjonsverdiene synker mot minus uendelig når x nærmer seg -2 fra høyre.

Vi skriver

f(x)- når x-2+

Du kan selv undersøke om dette stemmer ved å sette inn verdier for x som er veldig nær -2.

Funksjonen f har ingen grenseverdi når x går mot -2.

Vi kan skrive dette slik

limx-2fx eksisterer ikke

Vi leser «grenseverdien til f når x går mot -2 eksisterer ikke».

Lim er forkortelse for det latinske ordet "limes" som betyr grense.

Grafen består av to deler, en del til venstre for linjen x=-2 og en del til høyre for linjen x=-2. Linjen x=-2 er en loddrett, eller vertikal asymptote. Legg merke til at grafen er symmetrisk om skjæringspunktet mellom asymptotene.


Legg også merke til at grafen «flater ut» og nærmer seg linjen y=1 når x går mot pluss eller minus uendelig. Den ene delen av grafen nærmer seg linjen ovenfra og den andre delen nedenfra. De to delene av grafen vil aldri krysse linjen. Linjen y=1 er en vannrett, eller horisontal asymptote.

Vi skriver

limxfx=1

Hvordan finner vi asymptotene?

Den vertikale asymptoten finner du ved å sette nevneren i funksjonsuttrykket lik null. I eksemplet ovenfor så vi på funksjonen f gitt ved fx=x-2x+2.

Vi får likningen x+2=0 som gir x=-2 som den vertikale asymptoten til funksjonen f.

Den horisontale asymptoten finner du ved å la x gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive

limx±fx=limx±x-2x+2xx=1

Hvordan tegne grafen til en rasjonal funksjon?

Det er alltid lurt å først finne asymptotene når du skal tegne grafen til en rasjonal funksjon uten digitale hjelpemidler. Så kan du lage en verditabell der du velger de fleste x-verdiene i nærheten av den loddrette asymptoten. Du bør også utnytte at grafen er symmetrisk om skjæringspunktet mellom asymptotene.

Læringsressurser

Andre funksjoner