1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. AndregradsfunksjonerChevronRight
  5. Nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og symmetrilinjeChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og symmetrilinje

En andregradsfunksjon kan ha to, ett eller ingen nullpunkt, men den vil alltid ha en symmetrilinje.

Graf

Vi tegner grafen til funksjonen fx=x2-4x+3 i GeoGebra og finner nullpunktene med kommandoen «Nullpunkt[f]».

Grafen har et bunnpunkt, siden andregradsleddet er positivt. Vi finner bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Grafen har bunnpunkt 2, -1.

I koordinatsystemet har vi tegnet inn symmetrilinjen til f, linjen x=2.

Vi ser at bunnpunktet ligger på symmetrilinjen. Symmetrilinjen ligger også like langt fra hvert av parabelens nullpunkter.

Vi har sett at vi kan finne parabelens nullpunkter ved å løse likningen fx=0.

x2-4x+3 = 0x=--4±-42-4·1·32·1x=4±16-122x=4±22x=2±1

Hvis vi stopper der, ser vi at x=2±1.

De to nullpunktene ligger like langt fra parabelens symmetrilinje!

Det betyr at de to nullpunktene ligger like langt fra linjen x=2, og denne linjen er altså parabelens symmetrilinje.

Generelt er nullpunktene gitt ved

x = -b±b2-4ac2a=-b2a±b2-4ac2a

Det betyr at vi kan finne symmetrilinjen og x -koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved å «fjerne» kvadratroten i uttrykket vi får når vi setter f(x)=0 .

Gitt andregradsfunksjonen

fx=ax2+bx+c

Vi finner nullpunktene ved å løse likningen f(x)=0 . Det gir

xNullpunkt=-b±b2-4ac2a

Vi finner symmetrilinjen og x - koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved

xSymmetrilinje=-b2a

Det betyr at vi kan finne mye informasjon om grafen til en andregradsfunksjon ved enkel regning uten å bruke digitale hjelpemidler.

Eksempel. To nullpunkter

Graf

Gitt funksjonen gx=-x2+3x+4. Finn nullpunktene til funksjonen.

gx = 0-x2+3x+4=0x=-3±32-4·-1·42·-1x=-3±25-2x=-1      x=4

Nullpunktene er x=-1 og x=4.

Symmetrilinjen er

x=-b2a=--32·-1=32=1,5

Vi ser at dette er x-verdien midt mellom -1 og 4.
Grafen har et toppunkt, siden andregradsleddet er negativt.
Toppunktet har koordinatene

1.5, g(1.5)=1.5, -1.52+3·1.5+4=1.5, (-2.25+4.5+4)=1.5, 6.25

Eksempel. Ett nullpunkt

Gitt funksjonen hx=x2-4x+4.

Graf

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

hx = 0x2-4x+4=0x=--4±-42-4·1·42x=--4±02=2

Nullpunktet er x=2.

Vi får bare ett nullpunkt, siden uttrykket under kvadratroten blir lik null.

Symmetrilinjen er gitt ved

x=-b2a=--42·1=42=2

Grafen har et bunnpunkt, siden andregradsleddet er positivt. Nullpunktet faller sammen med bunnpunktet og ligger på symmetrilinjen.

Vi vet at h(2)=0. Bunnpunktet har koordinatene 2, h2=2, 0

Eksempel. Ingen nullpunkter

Graf

Gitt funksjonen kx=x2-4x+5.

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

kx = 0x2-4x+5=0x=--4±-42-4·1·52x=--4±-42

Vi får et negativt tall under rottegnet. Likningen har ingen løsning. Det betyr at funksjonen ikke har nullpunkter, og grafen til funksjonen krysser aldri x-aksen.

Siden konstantleddet c=5, vet vi at grafen skjærer y -aksen i punktet 0, 5. Dette punktet ligger over x-aksen. Grafen ligger da over x-aksen for alle verdier av x.

Vi finner symmetrilinjen ved

x=-b2a=--42=42=2

Grafen har et bunnpunkt, siden andregradsleddet er positivt.


Bunnpunktet har koordinatene 2, k2=2, 22-4·2+5=2, 1

Læringsressurser

Andregradsfunksjoner