1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. LogaritmerChevronRight
  5. EksponentiallikningerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Eksponentiallikninger

Likninger med potensuttrykk der eksponenten er ukjent, kalles eksponentiallikninger. Vi kan bruke logaritmesetningen til å løse slike likninger.

Gitt eksponentiallikningen

ax=b

Siden logaritmen til to like tall er like, er

lgax=lgb

Tredje logaritmesetningen gir da at

xlga=lgb

Det gir løsningen på eksponentiallikningen

x=lgblga

Eksempel 1

Vi skal løse likningen

23x-1=16

Vi løser slike likninger ved å bruke logaritmesetninger.

23x-1  =  16lg(23x-1)=lg16              Når to tall er like, er også logaritmen til tallene like.  (3x-1)lg2=lg24              Tredje logaritmesetning  3x-1=4lg2lg2            Husk at lg2 er et tall3x=5x=53


Tusenlapper
Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Eksempel 2

Anne har plassert 1000 kroner på en konto i banken. Renten er 6,0 % per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner vekstfaktoren

1+6100=1,06

Vi kan da sette opp følgende likning der x er tiden pengene må stå i banken

1000·1,06x=2·1000

Vi forsøker å løse likningen ved å bruke logaritmesetningene.


1000·1,06x  =  2·10001,06x=200010001,06x=2lg1,06x=lg2    x·lg1,06=lg1,10  x=lg2lg1,06

Når en størrelse øker med p prosent, er vekstfaktoren 1+p100.

Her må vi bruke et digitalt verktøy, eller en logaritmetabell, for å få en tilnærmet verdi. I praktiske oppgaver løser vi derfor eksponentiallikninger i et CAS-verktøy.

Ekspontentiallikninger i GeoGebra. Foto

Ved CAS i GeoGebra

Bilde koordinatsystemet

Pengene må altså stå ca. 12 år i banken før beløpet er fordoblet.

Vi kan også løse likningen grafisk. Se koordinatsystemet til høyre. Her har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved

f(x)=1000·1,06x

og løst likningen

f(x)=2000

grafisk.

Eksempel 3

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 % hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000?

Vi finner vekstfaktoren

1+1,5100=1,015

Eksponentiallikning i GeoGebra. Foto

Vi kan sette opp og løse følgende likning, som vi løser ved CAS i GeoGebra. Innbyggertallet vil være 15000 om snaue 10 år.

Eksempel 4

bruktbiler
Hvor mange år vil det gå før bilens verdi er halvert?

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Vekstfaktoren blir

1-10100=0,90

Bilens verdi V(x), x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

V(x)=200 000·0,90x

Av grafen til V kan vil lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså da den var ny, var nærmere 305 000 kroner.

Når en størrelse avtar med p prosent, er vekstfaktoren 1-p100.

Koordinatsystem

Vi skal også se hvordan vi kan regne ut dette.

Ekspontentiallikninger i GeoGebra. Foto

Vi regner først ut hvor lang tid det går før bilens verdi har sunket til 100 000 kroner. Dette var det samme som vi fant grafisk.

Eksponentiallikninger i GeoGebra. Foto

Så regner vi ut hvor mye bilen var verdt for 4 år siden.

I eksempel 5 skal vi se litt annerledes på en eksponentiallikning.

Eksempel 5

     2·3x = 3·4xlg(2·3x)= lg(3·4xlg2+lg3x=lg3+lg4xlg2+x·lg3=lg3+x·lg4x·lg3-x·lg4=lg3-lg2x(lg3-lg4)=lg3-lg x=lg3-lg2lg3-lg4

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte være greit når vi arbeider med teoretiske problemstillinger. På Del 1 av en prøve eller eksamen må du av og til oppgi svar på eksakt form fordi du ikke kan regne ut en tilnærmingsverdi uten bruk av digitalt verktøy. I praktiske oppgaver er det vanlig å bruke tilnærmingsverdier.

Eksempel 6

Av og til får du bruk for å løse likninger hvor det er flere ledd med potensuttrykk, som for eksempel

32x-4·3x-12=

Hva slags likning er dette? Her må vi tenke oss litt om.

Vi ser at i likningen inngår både 3 opphøyd i 2x og 3 opphøyd i x . Fra potensregningen vet du at 32x=(3x)2. Vi kaller nå 3x for u , og likningen vår blir slik

(3x)2-4·3x-12 = 0u2-4·u-12=0

Nå ser vi at vi har en andregradslikning med u som den ukjente.

Andregradslikningen har løsningen

u2-4·u-12 = 0u=-4±-4)2-4·1·(-122·1=4±16+482=4±82u1=-2    u2=6

Nå er det viktig at vi tenker litt igjen …

Vi begynte med å sette 3x=u. Når vi nå har funnet at u=-2 eller u=6, må det bety at 3x=-2 eller 3x=6.

Løsningen 3x=-2 gir ingen mening siden potensen alltid er positiv.

Løsningen blir 3x=6  x=lg6lg31,6

Også her kunne vi oppgitt svaret på eksakt form som x=lg6lg3

Merk at oppgaver av denne typen gjerne kan inngå i Del 1 av en prøve eller en eksamen.

Læringsressurser

Logaritmer

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter