1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. UlikheterChevronRight
  5. Ulikheter av 2. gradChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Ulikheter av 2. grad

Hvordan løser vi ulikheter av andre grad?

Gitt ulikheten

x2<5x-4

Vi ordner først ulikheten slik at vi får null på høyre side.

x2-5x+4<0

Vi bruker så for eksemple abc-formelen og finner nullpunktene til uttrykket x2-5x+4.

x2-5x+4  =  0           x=--5±-52-4·1·42·1           x=5±92           x=5±32           x1=4   x2=1

Vi vet nå at utrykket x2-5x+4 er lik 0 når x=1 og når x=4.
Det er bare for disse x -verdiene at uttrykket kan skifte fortegn.

Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle x-verdier i hvert av de tre intervallene , 1,1, 4 og 4, . For å avgjøre om uttrykket er positivt eller negativt i hvert av intervallene, kan vi ta «stikkprøver» for en x-verdi i hvert intervall.

Vi vet at uttrykket kan faktoriseres slik at x2-5x+4=x-4x-1. Det er lettest å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

x2-5x+4=x-4x-1

For x=0 får vi

0-40-1=-4·-1 Uttrykket er positivt.

For x=2 får vi

2-42-1=-2·1 Uttrykket er negativt.

For x=5 får vi

5-45-1=1·4 Uttrykket er positivt.

Det er ikke nødvendig å regne ut verdien i parentesene. Det som betyr noe er fortegnene på parentesuttrykkene.

For å få en oversikt over situasjonen setter vi opp et såkalt fortegnsskjema. Det består av en tallinje som viser x-verdiene, og en fortegnslinje som viser fortegnet til uttrykket i de aktuelle intervallene. Heltrukket linje markerer at uttrykket er positivt i dette tallintervallet og stiplet linje markerer at uttrykket er negativt. En «0» viser at uttrykket er lik null for denne x-verdien.

Fortegnskjema for ulikheter av 2. grad

Vår oppave var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x2<5x-4. Det er det samme som å finne ut når x2-5x+4<0. Ut fra fortegnslinjen er det nå lett å se løsningen på oppgaven.

Løsningen på oppgaven er at x må ligge mellom 1 og 4, dvs. x1, 4.

Ved grafisk løsning tar vi utgangspunkt i den opprinnelige ulikskapen. ulikheten. Løsningen blir det intervallet på x-aksen der grafen til y=x2 ligger under grafen til y=5x-4.

Bilde av koordinatsystem
Løse ulikheter i GeoGebra. Bilde.

Ved CAS i GeoGebra skriver vi den opprinnelige ulikheten rett inn og bruker knappen x= eller kommandoen "Løs".

Læringsressurser

Ulikheter

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter