1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. AndregradslikningerChevronRight
  5. Likningssett av første og andre gradChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Likningssett av første og andre grad

Vi kan bruke de samme metodene for å løse likningssett der den ene likningen er av andre grad som vi gjør når begge likningene er av første grad.

Når vi løser likningssett med to likninger av første grad, kan vi bruke innsettingsmetoden. Denne metoden kan vi også bruke her. Det lureste er da ofte å finne et uttrykk for den ene ukjente ved hjelp av førstegradslikningen, og så sette dette inn i andregradslikningen.

Eksempel

Vi har gitt likningssettet

12x2-2x-y=3x+y=1


Her er den første likningen av andre grad og den andre likningen av første grad. Vi bruker førstegradslikningen til å finne et uttrykk for y.

x+y = 1    y=1-x

Vi setter uttrykket inn for y inn i andregradslikningen (bruk parenteser for å unngå fortegnsfeil).

12x2-2x-y = 3x22-2x-(1-x)=3x22-2x-1+x=3x22-x-4=0x22·2-x·2-4·2=0·2x2-2x-8=0

Vi får en andregradslikning med én ukjent, og denne kan vi løse ved å bruke abc-formelen. Det er ikke nødvendig å multiplisere med to i likningen, men fordelen er at da slipper vi å sette inn brøker i formelen.

x = --2±-22-4·1·-82·1x=2±4+322x=2±362x=2±62x=-2   eller   x=4

Bilde av koordinatsystem

Vi setter disse løsningene inn i uttrykket for y.

y = 1-xy1=1--2=1+2=3y2=1-4=-3

Likningssettet har to sett med løsninger.

x = -2   og   y=3x=4     og    y=-3

Som du ser til høyre, gir den grafiske løsningen av likningssettet samme resultat.

Likningssett av første og andre grad i GeoGebra. Foto

Ved CAS i GeoGebra markerer du rute 1 og 2 for deretter å bruke knappen x=.

Eksempel

Vi har gitt likningssettet

2x2-2x-y2=82x-y=-2

Vi bruker førstegradslikningen til å finne et uttrykk for y.

2x-y = -2-y=-2-2xy=2x+2

Vi setter så uttrykket for y inn i andregradslikningen.

2x2-2x-y2 = 82x2-2x-(2x+2)2=82x2-2x-(4x2+8x+4)=82x2-2x-4x2-8x-4=8-2x2-10x-12=0         | :-2x2+5x+6=0

Legg merke til at vi her dividerer med -2 i siste linje for å få greiere tall å arbeide med når vi skal bruke abc-formelen.

Vi bruker abc-formelen til å løse denne likningen.

x = -5±52-4·1·62·1x=-5±25-242x=-5±12x=-2   eller   x=-3

Vi setter så disse løsningene inn i uttrykket for y.

y = 2x+2y1=2·(-2)+2=-2y2=2·(-3)+2=-4

Likningssettet har to sett med løsninger.

x=-2    y=-2        x=-3    y=-4

Husk at betyr "og" mens betyr "eller".

Likningssett av første og andre grad i GeoGebra 2

Vi kan også løse denne type likningssett ved hjelp av digitale verktøy.

Ved CAS i GeoGebra markerer du rute 1 og 2 for deretter å bruke knappen x=.

Læringsressurser

Andregradslikninger