1. Home
  2. Matematikk for samfunnsfagChevronRight
  3. AlgebraChevronRight
  4. AndregradslikningerChevronRight
  5. Å løse andregradslikninger ved abc-formelenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Å løse andregradslikninger ved abc-formelen

abc-formelen er en formel vi kan bruke til å løse alle andregradslikninger - dersom de har løsning.

Dersom du har hatt faget 1T, brukte du abc-formelen for å løse andregradslikninger.

abc-formelen

Andregradslikningen ax2+bx+c=0 har løsningen

x=-b±b2-4ac2aa0 b2-4ac0                                             

Vi bruker tegnet ± for å spare skriving. Det betyr at det er egentlig to andregradsformler: én med pluss og én med minus.

Når vi løser en andregradslikning med abc-formelen, ordner vi først likningen slik at den kommer på formen ax2+bx+c=0.

Du husker at vi definerte kvadratroten bare til positive tall og null. Det vil si at andregradslikningen ikke har løsninger blant de reelle tall når det som står under rottegnet er mindre enn null.
Kanskje det digitale verktøyet du bruker da gir løsninger med bokstaven i? Det vil si at løsningen er imaginær.

Andregradslikningen har bare én løsning når det som står under rottegnet er lik null.

Vi skal nå se på noen eksempler på bruk av abc-formelen.

Eksempel 1

          x2 = 5-4xx2+4x-5=0            x=-4±42-4·1-52·1            x=-4±16+202            x=-4±362            x=-4+62         x=-4-62            x=1                x=-5

Likningen har to løsninger. Det er altså to verdier for x som passer i den opprinnelige likningen.

bilde av koordinatsystem

Til høyre ser du at den grafiske løsningen gir samme resultat.

Eksempel 2

x2+4x+4 = 0            x=-4±42-4·1·42·1            x=-4±16-162            x=-4±02            x=-2

bilde av den digitale grafiske løsningen

Uttrykket under rottegnet er null, og vi får bare én løsning. Dette ser vi også av den digitale grafiske løsningen til høyre.

For å løse denne likningen kunne vi også brukt første kvadratsetning og fått

 x2+4x+4 = 0     x+22=0         x+2=0             x=-2

Eksempel 3

x2-2x+4 = 0            x=--2±-22-4·1·42            x=4±4-162            x=4±-122            Ingen løsning

Vi får -12 under rottegnet og -12 er ikke definert når vi regner med reelle tall. Vi får derfor ingen løsning, dvs. at det ikke finnes noe reelt tall som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likningen blir null.

Bilde av den grafiske løsningen

Dette kan vi også se grafisk. Grafen til funksjonen f gitt ved fx=x2-2x+4 skjærer ikke
x-aksen. Se koordinatsystemet .

Løsning av andregradslikninger i GeoGebra. Illustrasjon.
Legg merke til markering for «ingen løsning»

Ved CAS i GeoGebra får vi følgende løsninger ved å bruke knappen x=

Læringsressurser

Andregradslikninger