Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Lineære funksjonerChevronRight
  5. Mer om lineær vekstChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Mer om lineær vekst

Oppgaver til Mer om lineær vekst.

3.1

Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på kr 105. I tillegg får han kr 10 for hvert salg han oppnår.

a) Lag en funksjon for timelønnen L i kroner for hvert salg s han oppnår.

vis fasit

L(s)=10s+105

b) Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem. La s variere mellom 0 og 15.

vis fasit
Lineær funksjon. Illustrasjon.

c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var kr 175?

vis fasit

Jeg tegner linjen y=175 . Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til L med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktet A på figuren i oppgave b).

Med en timelønn på 175 kroner har Per har hatt 7 salg.

3.2

Flaske med mandalsvann. Foto.

På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5°C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4°C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer.

a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter x antall minutter.

vis fasit

Temperaturstigningen blir 5,4 °C60 min=0,09 °C per minutt.

T(x)=0,09x+5

b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer?

vis fasit

T(90)=0,09·90+5=13,1°C

c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem.

vis fasit
Lineær funksjon. Illustrasjon.

d) Når var temperaturen 14°C i vannet?

vis fasit

Jeg tegner linjen y=14 . Jeg finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen til T med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Se punktet A på figuren i oppgave c). Temperaturen var 14°C etter 100 minutter, altså etter 1 time og 20 minutt.

Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen som viste temperaturen f i vannet til Anette x antall minutter etter at prøven startet var

fx=0,08x+6,5

e) Hva var temperaturen i vannet til Anette når prøven startet?

vis fasit

Da prøven startet var x=0 .

Temperaturen i vannflasken til Anette var dermed 6,5°C ved prøvestart.

3.3

Gitt funksjonene fx=x+2 og gx=-2x+4.

a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem.

vis fasit
grafen til f og g

b) Finn grafisk skjæringspunktet mellom grafene.

vis fasit

Jeg bruker kommandoen «Skjæring[ f, g ]» i GeoGebra.

Finner grafisk at skjæringspunktet mellom grafene er (0.67, 2.67)

c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning.

vis fasit

f(x) = g(x)x+2=-2x+43x=2x=23

Dette gir f23=23+2=23+63=83

Skjæringspunktet blir 23, 83

d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning.

vis fasit

Jeg bruker kommandoene «Nullpunkt[f]» og «Nullpunkt[g]» i GeoGebra. Jeg leser av grafisk at funksjonen f har nullpunkt forx=-2 og at funksjonen g har nullpunkt for x=2 .

Nullpunkt for f ved regning:

f(x) = 0x+2=0x=-2

Nullpunkt for g ved regning:

g(x) = 0-2x+4=0-2x=-4x=2

3.4

Gitt funksjonene f og g der fx=-32x+5 og gx=2x-2.

a) Tegn grafene til funksjonene i samme koordinatsystem.

vis fasit
Linær funksjon. Illustrasjon.

b) Finn grafisk skjæringspunktet mellom grafene.

vis fasit

Jeg bruker kommandoen «Skjæring[ f, g ]» i GeoGebra.

Ser grafisk at skjæringspunktet mellom grafene er (2, 2).

c) Finn skjæringspunktene mellom grafene ved regning.

vis fasit

f(x) = g(x)-32x+5=2x-2-3x+10=4x-4-3x-4x=-4-10-7x=-14x=2

Dette gir g(2)=2·2-2=4-2=2

(Velger å bruke funksjonen g da dette gir enklest regning.)

Skjæringspunktet blir (2, 2).

d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning.

vis fasit

Jeg bruker kommandoene «Nullpunkt[f]» og «Nullpunkt[g]» i GeoGebra. Leser av grafisk at funksjonen f har nullpunkt x3,3 og funksjonen g har nullpunkt x=1.

Ved regning for f:

f(x) = 0-32x+5=0-3x=-10x=103

Ved regning for g:

g(x) = 02x-2=02x=2x=1

3.5

Anette og Bjørnar jobber som telefonselgere i hvert sitt firma.
Anette jobber i firma A. Hun har en fast timelønn på 100 kroner, og et tillegg på 10 kroner per salg.
Total timelønn i kroner, A, for Anette kan beskrives ved funksjonsuttrykket

Ax=10x+100  der x er antall salg per time.

Bjørnar jobber i firma B. Han har en fast timelønn på 90 kroner, og et tillegg på 12 kroner per salg.

Total timelønn i kroner, B, for Bjørnar kan beskrives ved funksjonsuttrykket

Bx=12x+90  der x er antall salg per time.

a) Tegn grafene til funksjonene i samme koordinatsystem.

vis fasit
Grafene til funskjon A og B

b) Finn grafisk og ved regning skjæringspunktet mellom grafene.

vis fasit

Jeg bruker kommandoen« Skjæring[ A, B ]» i GeoGebra.

Jeg ser grafisk at skjæringspunktet mellom grafene er (5, 150).

Ved regning:

A(x) = B(x)100+10x=90+12x-2x=-10x=5

Det gir A(5)=100+10·5=150.

Skjæringspunktet er (5, 150).

c) Hva forteller skjæringspunktet?

vis fasit

Skjæringspunktet forteller at timelønnen til Anette og Bjørnar er den samme ved 5 salg. Timelønnen er da 150 kroner.

3.6

Tabellen under viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 2000.

Årstall 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Folkemengde 3 249 954 3 567 707 3 683 221 4 078 900 4 233 116 4 478 497

a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt hjelpemiddel eller gjøre det manuelt på papir. La x være antall år etter 1950 og f(x) folkemengden i millioner.

vis fasit

Her viser vi løsningen med bruk av GeoGebra.

Jeg valgte «Regneark» i GeoGebra. La punktene fra tabellen nedenfor inn i rad 1 og 2.

x
0 10 20 30 40 50
f(x)
3,2 3,6 3,9 4,1 4,2 4,5

Merket området med tallene. Jeg valgte så «Regresjonsanalyse» og «Analyser». Som regresjonsmodell valgte jeg «Lineær»

regresjonsmodell

Funksjonen f kan beskrives med uttrykket f(x)=0,024x+3,315.

Jeg valgte «Kopier til grafikkfeltet»

graf tegnet ut fra regresjon

b) Hvor mye øker folkemengden per år ut fra uttrykket du fant i oppgave a)?

vis fasit

Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstallet er 0,024. Økningen i folkemengde per år er 0,024 millioner altså 24 000 individer.

c) Dersom denne utviklingen fortsetter. Hva vil folkemengden i Norge være i år 2050?

vis fasit

Variabelen x er antall år etter 1950. Vi setter da x lik 100 i funksjonen vi fant ovenfor og finner folkemengden i Norge i år 2050.

f(x)=0,024·100+3,315=5,715

Folkemengden i Norge vil være 5 715 000 i år 2050 etter denne modellen.

Læringsressurser

Lineære funksjoner

Hva er kjernestoff og tilleggsstoff?
SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter

SubjectEmne

Ekstern læringsressurs

  • ExternalLearningResourceEksterne ressurser

    Matteboka 1T

    Tilleggsstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • Det er ikke noe kjernestoff for ekstern læringsressurs.