1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Lineære funksjonerChevronRight
  5. Mer om lineær vekstChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Mer om lineær vekst

Her finner vi skjæringspunkt mellom linjer, nullpunktet til ei linje, og vi bruker lineære modeller.

Skjæringspunktet mellom to rette linjer

Vi kan finne skjæringspunktet mellom to rette linjer grafisk eller ved regning.

I skjæringspunktet har begge funksjonene samme verdi for x og samme verdi for y. Når vi skal finne skjæringspunktet ved regning, setter vi derfor funksjonsuttrykkene lik hverandre og løser likningen vi da får.

Eksempel

Funksjonene f og g er gitt ved

fx=2x-1 og gx=-x+2.

Finn skjæringspunktet mellom de to linjene grafisk og ved regning.

Grafisk løsning

skjæring mellom to rette linjer

Vi tegner de to linjene i et koordinatsystem, leser av og finner at linjene skjærer hverandre i punktet 1, 1.

I GeoGebra kan du bruke kommandoen «Skjæring[f,g]», eller knappen «Skjæring mellom to objekt».

Ved regning

Vi setter funksjonsuttrykkene lik hverandre og løser likningen.

   fx = gx2x-1=-x+2     3x=3       x=1

Vi kan sette inn x=1 i et av funksjonsuttrykkene (samme hvilket) for å finne y.

Vi velger å regne ut f1=2·1-1=1. Skjæringspunktet er 1, 1.

Eksempel

To firmaer leier ut selskapslokaler.

Firma A tar en fast leiepris på 3000 kroner og et timetillegg på 500 kroner. Kostnadene i kroner, A(x), ved leie av lokalet i x timer kan beskrives med funksjonsuttrykket

Ax=500x+3000

Firma B tar en fast leiepris på 2000 kroner og et timetillegg på 1 000 kroner. Kostnadene i kroner, B(x), ved leie av lokalet i x timer kan beskrives med funksjonsuttrykket

Bx=1000x+2000

Skjæringspunkt mellom to linjer. graf.

Vi tegner grafene til de to funksjonene og finner skjæringspunktet mellom grafene ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt».

Grafene skjærer hverandre når x=2. Det betyr at hvis du skal leie lokalene i to timer, er det prismessig det samme hvilket firma du velger. Prisen er 4000 kroner hos begge firmaene.

Hvis du skal leie lokalet i mindre enn to timer, lønner det seg å velge firma B. Det ser vi ved at grafen til B ligger under grafen til A i dette området.

Hvis du skal leie lokalet i mer enn to timer, lønner det seg å velge firma A. Det ser vi ved at grafen til A ligger under grafen til B i dette området.

Skjermbilde, utregning av skjæringspunkt i CAS GeoGebra. Bilde.

Vi kan kontrollere den grafiske løsningen ved regning

Vi får også her at leieprisene er like når leietiden er to timer og at leieprisen da er 4 000 kroner.

Hva forteller stigningstall og konstantledd?

Hos firma A er totalkostnadene i kroner ved leie av lokalet i x timer, gitt med funksjonsuttrykket

A(x)=500x+3000

Konstantleddet er 3 000 og viser her at den faste leieprisen er kroner 3 000. Den må betales uansett hvor mange timer lokalet leies. Legg merke til at grafen skjærer y-aksen i punktet (0, 3000).

Stigningstallet er 500. Det betyr at det koster kroner 500 for hver ekstra time lokalet leies.

Kostnadene øker jevnt med økningen i antall leide timer. Vi har lineær vekst i kostnadene.

Funksjonen S gitt ved S(t)=160t gir strekningen i meter som er løpt etter t minutter.

Her er konstantleddet lik null, og det viser at løpt strekning er null ved tiden null. «Klokka» starter når løpeturen begynner.

Stigningstallet er 160. Det betyr det løpes 160 meter for hvert ekstra minutt. Det forteller altså at farten er 160 meter per minutt.

Antall løpte meter øker jevnt med økningen i antall minutter det løpes. Vi har lineær vekst i antall løpte meter!

Nullpunkt

Definisjon

Et nullpunkt til en funksjon f er løsningen av likningen fx=0.

Et nullpunkt er altså x-verdien til et skjæringspunkt mellom grafen og x-aksen.

Eksempel

nullpunkt

Gitt funksjonen fx=2x-1.

Vi setter funksjonen lik null.

f(x)=02x-1=0x=12

Nullpunktet til f er x=12

Gitt grafen gx=-x+2.

g(x)=0-x+2=0x=2

Nullpunktet til g er x=2.

I GeoGebra kan du finne nullpunkter med kommandoen "Nullpunkt[ Polynom ]".

Eksempel

Småbåt. Foto.

Like før sommerferien får Janne tilbud om å kjøpe en brukt båt med motor for kroner 9 000.

Janne har ikke penger, men får et rentefritt lån av sine foreldre på kroner 9 000 som skal betales tilbake gjennom sommeren med ukentlige avdrag på kr 1 500.

Janne har fått sommerjobb med ukelønn på kroner
4 000.

Bilde av et koordinatsystem

Restgjelden Janne har til sine foreldre x uker etter at hun opptok lånet, kan beskrives med den lineære funksjonen

R(x)=-1500x+9000

Konstantleddet er 9 000.
Det betyr at lånet i starten er på kroner 9 000.

Stigningstallet er negativt, -1500.
Det betyr at restlånet avtar med 1 500 kroner per uke. Vi kan si at restlånet har negativ lineær vekst.

Vi finner nullpunktet til funksjonen i GeoGebra med kommandoen "Nullpunkt[R]".

Nullpunktet er (6, 0). Det forteller at lånet er nedbetalt, restlånet er null, etter 6 uker.

Skjermbilde, utregning av likning i CAS i GeoGebra. Bilde.

Ved regning løser vi likningen

Vi får samme løsning.

Lineære modeller

Tabellen viser folketallet i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 2000

Årstall

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Folketall

3 249 954

3 567 707

3 863 221

4 078 900

4 233 116

4 478 497

Det er en sammenheng mellom årstall etter 1950 og folketallet.
Vi lager en ny tabell hvor x er antall år etter 1950 og hvor f(x) er folketallet i antall millioner.

x

0

10

20

30

40

50

f(x)

3,2

3,6

3,9

4,1

4,2

4,5


Vi plotter punktene fra den siste tabellen i et koordinatsystem, og ser at punktene tilnærmet ligger på en rett linje.

Bilde av et koordinatsystem med en tilnærmet vannrett linje. Illustrasjon.

Det betyr at folketallet i Norge har hatt en tilnærmet lineær vekst i perioden fra 1950 til 2000.

Vi trekker en rett linje som ser ut til å passe godt med punktene.

Kan du bestemme likningen for denne linjen?

Linjen skjærer y-aksen der y3,3 og går tilnærmet gjennom punktene (30, 4) og (70, 5). Vi regner ut endringene i y- og x-retning.

y: 5-4=1 og x: 70-30=40

Stigningstallet blir da tilnærmet lik 140=0,025.

Vi kan da si at funksjonen f(x)=0,025x+3,3 er en lineær matematisk modell som tilnærmet beskriver utviklingen i folketallet i Norge fra 1950 til 2000.

Når vil folketallet i Norge etter denne modellen passere 5 millioner og 6 millioner?

Finn ut hva folketallet i Norge var i 2018. Stemmer det med hva modellen sier?

Tror du folketallsutviklingen i Norge stort sett vil følge denne modellen framover?

Læringsressurser

Lineære funksjoner

Hva er kjernestoff og tilleggsstoff?
SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter

SubjectEmne

Ekstern læringsressurs

  • ExternalLearningResourceEksterne ressurser

    Matteboka 1T

    Tilleggsstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • Det er ikke noe kjernestoff for ekstern læringsressurs.