1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. CosinussetningenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Cosinussetningen

Vi skal nå bli kjent med en setning som i enda større grad enn sinussetningen gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklete. Beviset for setningen kommer etter eksemplene.

Gitt en trekant ABC. Følgende setning gjelder

Cosinussetningen (Den utvidete pytagoreiske setning)

a2= b2+c22bc cosA
Trekant
I en trekant er kvadratet av en side alltid lik summen av kvadratene av de to andre sidene minus to ganger produktet av disse sidene og cosinus til deres mellomliggende vinkel.
Vi kan altså også skrive setningen på følgende to andre måter
b2 = a2+c2- 2ac cosB c2 = a2+b2 2ab cosC

Vi kan også bruke cosinussetningen til å finne vinkler. Det er da lurt å snu på formelen slik som vist nedenfor.

            a2 = b2+c2-2·b·c·cosA2·b·c·cosA=b2+c2-a2        cosA=b2+c2-a22·b·c

De andre vinklene blir da

cosB = a2+c2-b22·a·ccosC=a2+b2-c22·a·b

Eksempel

hjelpefigur
Figuren viser en trekant ABC .

Regn ut siden a når b = b=3,5 cm, c=5,5 cm og A = 35°.

Løsning

a opphøyd i andre \

a=3,3 cm

Eksempel

Hjelpefigur

Figuren viser en trekant ABC.

Regn ut B når du vet at a=3,3 cm, b=3,5 cm og c=5,5 cm.

Løsning

3 komma 5 opphøgd i andre \

B=37,3°

I det siste eksempelet er det bare cosinussetningen som gir løsning på problemet. Sinussetningen kan ikke brukes her.

Når du bruker cosinussetningen til å finne vinkler, får du alltid bare én løsning. Hvis du bruker sinussetningen, får du to løsninger, og du må selv vurdere hvilke verdier som passer i den aktuelle trekanten.

Bevis for cosinussetningen

hjepefigur

Vi lar først A<90°.

Vi bruker Pytagoras læresetning på figuren

a2 = h2+(c-x)2a2=h2+c2-2cx+x2a2=h2+x2+c2-2·c·x

Siden h2+x2=b2 og cosA=xb dvs x=b·cosA så er

a2 = b2+c2-2c·b·cosAa2 = b2+c2-2b·c·cosA

Vi lar så A>90°.

hjelpefigur

Vi bruker Pytagoras’ læresetning på figuren

a2 = h2+c+x2a2 = h2+c2+2cx+x2a2 = h2+x2+c2+2·c·x

Vi har at h2+x2=b2 og cos 180o-A=xb

cos180o-A = -cosA-cosA=xbx=-b·cosAa2=b2+c2+2c·-b cosAa2=b2+c2-2bc cosA

Vi lar så A=90°.

Da er cos A=0 og vi får Pytagoras’ setning a2=b2 +c2.

Vi skjønner da hvorfor cosinussetningen også kalles for den utvidete pytagoreiske setning.

Læringsressurser

Trigonometri 2