Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. CosinussetningenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Cosinussetningen

Vi skal nå bli kjent med en setning som i enda større grad enn sinussetningen gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklete. Beviset for setningen kommer etter eksemplene.

Gitt en trekant ABC. Vinkel A har motstående side a, og det er tilsvarende for de andre vinklene. Følgende setning gjelder:

Cosinussetningen (Den utvidede pytagoreiske setning)

a2= b2+c22bc cosA
Trekant ABC der vinkel stor A har motstående side liten a. Det er tilsvarende for de andre vinklene. Illustrasjon.
I en trekant er kvadratet av en side alltid lik summen av kvadratene av de to andre sidene minus to ganger produktet av disse sidene og cosinus til deres mellomliggende vinkel.
Vi kan derfor også skrive setningen på følgende to andre måter:
b2 = a2+c2- 2ac cosB c2 = a2+b2 2ab cosC

Vi kan bruke cosinussetningen til å finne både sider og vinkler. Når vi skal finne vinkler, kan det være lurt å snu på formelen slik som vist nedenfor.

            a2 = b2+c2-2·b·c·cosA2·b·c·cosA=b2+c2-a2        cosA=b2+c2-a22·b·c

De andre vinklene blir da

cosB = a2+c2-b22·a·ccosC=a2+b2-c22·a·b

Skal vi bruke GeoGebra til å løse oppgavene, trenger vi ikke å snu på formelen.

Eksempel 1

Figuren viser en trekant ABC.

Trekant ABC der siden AB er 5,5 centimeter, siden AC er er 3,5 centimeter og vinkel A er 35 grader. Illustrasjon.

Regn ut siden BC når siden AC er 3,5 cm, siden AB er 5,5 cm og  A = 35°.

Løsning

Vi bruker varianten av cosinussetningen med vinkel A, siden det er den vinkelen som er oppgitt, og løser med GeoGebra.

a2= b2+c22bc cosA

a2=3.52+5.52-2·3.5·5.5·cos35°1NLøs:  {a=-3.3, a=3.3}

a=3,3 cm

Kommentar

I dette eksempelet kunne vi ha klart oss med sinussetningen ved først å bruke den til å finne vinkel B eller vinkel C. Deretter bruker vi sinussetningen igjen for å finne siden a. Prøv!

Eksempel 2

Figuren viser en trekant ABC.

Trekant ABC med sider AB lik 5,5 centimeter, AC lik 3,5 centimeter og BC lik 3,3 centimeter. Illustrasjon.

Regn ut B når du vet at a=3,3 cm, b=3,5 cm og c=5,5 cm.

Løsning

Vi bruker varianten av cosinussetningen med vinkel B og løser med GeoGebra.

b2=a2+c2-2ac·cosB

3.52=3.32+5.52-2·3.3·5.5·cosB°1NLøs:  {B=-37.26, B=37.26}

B=37,3°

Kommentar

I dette eksempelet er det bare cosinussetningen som gir løsning på problemet. Hvorfor kan ikke sinussetningen brukes her?

Når vi bruker cosinussetningen til å finne vinkler, får vi alltid bare én løsning. Hvis vi bruker sinussetningen til å finne vinkler, får vi to løsninger, og vi må selv vurdere hvilke løsninger som passer i den aktuelle trekanten.

Bevis for cosinussetningen

Vi lar først vinkel A være mindre enn 90 grader.

Trekant ABC med normal fra C ned på siden AB. Vinkel A er mindre enn 90 grader. Illustrasjon.

Vi har en trekant ABC der vi har markert høyden h (normalen) fra C ned på siden c (eller AB). Høyden h deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi bruker Pytagoras' læresetning på begge trekantene, først den til høyre.

a2 = h2+(c-x)2a2=h2+c2-2cx+x2a2=h2+x2+c2-2·c·x

Pytagoras' læresetning på den venstre trekanten gir

h2+x2=b2

I tillegg har vi at  cosA=xb, dvs.  x=b·cosA. Da får vi

a2 = b2+c2-2·c·b·cosAa2=b2+c2-2·b·c·cosA

Vi lar så vinkel A være større enn 90 grader.

Trekant ABC med normal fra C ned på forlengelsen av siden AB på grunn av at vinkel A er større enn 90 grader. Illustrasjon.

Vi bruker Pytagoras’ læresetning på den store, rettvinklede trekanten (hele figuren) med sider h, c + x og a.

a2 = h2+c+x2a2 = h2+c2+2cx+x2a2 = h2+x2+c2+2·c·x

Så bruker vi Pytagoras' læresetning på den lille, rettvinklede trekanten (deler av figuren) med sider h, x og b. Da får vi

h2+x2=b2

I tillegg har vi at

cos180°-A=xb

Her skulle vi helst ha hatt cosinus til A alene. Fra siden To vinkler – samme sinusverdi har vi at

cos180°-A = -cosA-cosA=xbx=-b·cosA

Da får vi

a2 = b2+c2+2c·-b cosAa2 = b2+c2-2bc cosA

Til slutt lar vi vinkel A være lik 90 grader.

Da er  cosA=0, og vi får Pytagoras’ setning  a2=b2 +c2  både ut i fra cosinussetningen og figuren.

Vi skjønner da hvorfor cosinussetningen også kalles for den utvidede pytagoreiske setning.

Vi har dermed vist at cosinussetningen gjelder for alle trekanter.

Læringsressurser

Trigonometri 2