Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. SinussetningenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Sinussetningen

Vi skal nå bli kjent med en setning som gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklede.

Gitt en trekant ABC . Følgende sammenheng gjelder

Hjeplefigur

Sinussetningen

sinAa=sinBb=sinCc

Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av motstående side er lik for alle vinklene i trekanten.

Bevis for sinussetningen

Vi skal nå bevise sinussetningen ved å skrive opp formelen for arealet av ΔABC ut fra hver av de tre vinklene.

Sinussetningen

Sett fra hjørnet A blir arealet av ΔABC lik 12·b·c·sinA.
Sett fra hjørnet B blir arealet av ΔABC lik 12·a·c·sinB.
Sett fra hjørnet C blir arealet av ΔABC lik 12·a·b·sinC.

Disse arealene MÅ jo være like store, og vi setter

12·b·c·sinA = 12·a·c·sinB=12·a·b·sinC2·12·b·c·sinA=2·12·a·c·sinB=2·12·a·b·sinCb·c·sinA=a·c·sinB=a·b·sinCb·c·sinAa·b·c=a·c·sinBa·b·c=a·b·sinCa·b·cb·c·sinAa·b·c=a·c·sinBa·b·c=a·b·sinCa·b·csinAa=sinBb=sinCc

Dette må gjelde for alle trekanter!

Eksempel

Figuren viser en trekant ABC.

Hjelpefigur
  1. Regn ut A når a=3,0 cm, b=5,5 cm og B=60°.

    Løsning

    sinus til A grader delt på 3 komma 0 \

    Med A=151,8° blir vinkelsummen i trekanten større enn 180° fordi 151,8°+60°=211,8°. Vi får da ikke noen trekant. Løsningen A=151,8° kan derfor ikke brukes.

    A=28,2°

  2. Finn siden c.

    Løsning

    sinus til 180 grader minus 60 grader minus 28 komma 2 grader delt på c \
    c=6,3 cm

    Legg merke til:

    Når vi finner vinkler med sinussetningen, fører regningen til to muligheter for vinkelen. I hver oppgave må vi vurdere om begge svarene kan brukes. Vi utelukker eventuelt vinkler ved å bruke at

  • Vinkelsummen i en trekant skal være 180°
  • Den største vinkelen skal ha lengst motstående side
  • Den minste vinkelen skal ha kortest motstående side

Læringsressurser

Trigonometri 2