Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. SinussetningenChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Sinussetningen

Vi skal nå bli kjent med en setning som gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklede.

Gitt en trekant ABC . Følgende sammenheng gjelder

Sinussetningen

Trekant med hjørner stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at siden liten a er motstående side til hjørnet stor a, og tilsvarende. Illustrasjon.
sinAa=sinBb=sinCc

Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av motstående side er lik for alle vinklene i trekanten.

Bevis for sinussetningen

Trekant med hjørner stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at siden liten a er motstående side til hjørnet stor a, og tilsvarende. Illustrasjon.

Vi skal nå bevise sinussetningen ved å skrive opp formelen for arealet av ΔABC ut fra hver av de tre vinklene.

Sett fra hjørnet A blir arealet av ΔABC lik 12·b·c·sinA.
Sett fra hjørnet B blir arealet av ΔABC lik 12·a·c·sinB.
Sett fra hjørnet C blir arealet av ΔABC lik 12·a·b·sinC.

Disse arealene MÅ jo være like store, og vi setter

12·b·c·sinA = 12·a·c·sinB=12·a·b·sinC2·12·b·c·sinA=2·12·a·c·sinB=2·12·a·b·sinCb·c·sinA=a·c·sinB=a·b·sinCb·c·sinAa·b·c=a·c·sinBa·b·c=a·b·sinCa·b·cb·c·sinAa·b·c=a·c·sinBa·b·c=a·b·sinCa·b·csinAa=sinBb=sinCc

Dette må gjelde for alle trekanter!

Eksempel

Figuren viser en trekant ABC.

Hjelpefigur
  1. Regn ut A når a=3,0 cm, b=5,5 cm og B=60°.

    Løsning

    Sinus til A grader delt på 3 er lik sinus 60 grader delt på 5,5. A = 28,2 eller 151,8. Illustrasjon.

    Med A=151,8° blir vinkelsummen i trekanten større enn 180° fordi 151,8°+60°=211,8°. Vi får da ikke noen trekant. Løsningen A=151,8° kan derfor ikke brukes.A=28,2°

  2. Finn siden c.

    Løsning

    sinus til 180 grader minus 60 grader minus 28 komma 2 grader delt på c \
    c=6,3 cm

    Legg merke til:

    Når vi finner vinkler med sinussetningen, fører regningen til to muligheter for vinkelen. I hver oppgave må vi vurdere om begge svarene kan brukes. Vi utelukker eventuelt vinkler ved å bruke at

  • Vinkelsummen i en trekant skal være 180°
  • Den største vinkelen skal ha lengst motstående side
  • Den minste vinkelen skal ha kortest motstående side