Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. CosinussetningenChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Cosinussetningen

I oppgavene nedenfor kan du bruke alle hjelpemidler dersom det ikke står noe annet.

2.7.16

Gitt en trekant ABC med sider a, b og c slik som på figuren nedenfor.

Trekant med hjørner stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at siden liten a er motstående side til hjørnet stor a, og tilsvarende. Illustrasjon.

a) Regn ut a når  b=5,0 cm, c=7,0 cm  og  A=39°.

vis fasit

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel A og løser i GeoGebra.

a2=b2+c2-2·b·c·cosA

a2=52+72-2·5·7·cos39°1NLøs:  {a=-4.43, a=4.43}

Vi ser bort fra den negative løsningen.

Siden  a=4,4 cm.

b) Regn ut b når  a=8,7 dm, c=12,3 dm  og  B=115,5°.

vis fasit

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B og løser i GeoGebra.

b2=a2+c2-2·a·c·cosB

b2=8.72+12.32-2·8.7·12.3·cos115.5°1NLøs:  {b=-17.86, b=17.86}

Siden  b=17,9 dm.

c) Regn ut c når  a=2,3 cm, b=4,5 cm og  C=23,6°.

vis fasit

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel C og løser i GeoGebra.

c2=a2+b2-2·a·b·cosC

c2=2.32+4.52-2·2.3·4.5·cos23.6°1NLøs:  {c=-2.56, c=2.56}

Siden  c=2,6 cm.

2.7.17

Gitt en trekant ABC, se figuren nedenfor.

Trekant ABC der motstående side til A er 6,0 centimeter, motstående side til B er 14 centimeter og motstående side til C er 19 centimeter. Illustrasjon.

Regn ut vinklene i trekanten.

vis fasit

Vi setter opp likninger med utgangspunkt i cosinussetningen for vinkel A og for vinkel B og løser i GeoGebra.

Vinkel A:  a2=b2+c2-2·b·c·cosA

6.02=142+192-2·14·19·cosA°1NLøs:  {A=11.67}

Vinkel B:  b2=a2+c2-2·a·c·cosB

142=6.02+192-2·6.0·19·cosB°2NLøs:  {B=28.17}

Vinkel C:

180-HøyreSide($1)-HøyreSide($2)3  {140.16}

Her har vi i linje 3 brukt kommandoen "HøyreSide()" for å referere til svarene i linje 1 og 2 i stedet for å skrive inn svarene for vinklene A og B direkte.

A = 11,7°B=28,2°C=140,2°

2.7.18

Vi skal grave en kanal fra Båly, B, til Lehnesfjorden, L. Vi står på en høyde, H, slik at vi kan se både B og L, og gjør målinger som vist på figuren nedenfor.

Trekanten BHL der BH er 737 meter, HL er 652 meter og vinkel H er 70 grader. Illustrasjon.
Kanal skal graves mellom 𝐵 og 𝐿 på figuren.

Finn lengden av kanalen.

vis fasit

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel H og løser i GeoGebra.

 BL2=BH2+HL2-2·BH·HL·cosH

BL2=7372+6522-2·737·652·cos70°1NLøs:  {BL=-799.73, BL=799.73}

Vi ser bort fra den negative løsningen.

BL=800 m

2.7.19

Gitt en trekant ABC med sider a, b og c der a er motstående side til hjørnet A, og så videre. Se figuren nedenfor.

Trekant med hjørner stor a, stor b og stor c og sider liten a, liten b og liten c slik at siden liten a er motstående side til hjørnet stor a, og tilsvarende. Illustrasjon.

a) Regn ut a når  b=4.8 cm, c=4,5 cm  og  B=63°.

vis fasit

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B og løser i GeoGebra.

 b2=a2+c2-2·a·c·cosB

4.82=a2+4.52-2·a·4.5·cos63°1NLøs:  {a=-0.6, a=4.68}

Vi ser bort fra den negative løsningen.

a=4,7 cm

b) Regn ut b når  a=3,8 cm, c=6,0 cm  og  C=80°.

vis fasit

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel C og løser i GeoGebra.

 c2=a2+b2-2·a·b·cosC

6.02=3.82+b2-2·3.8·b·cos80°1NLøs:  {b=-4.03, b=5.35}

Vi ser bort fra den negative løsningen.

b=5,4 cm

c) Regn ut c når  a=3,9 cm, b=4,7 cm  og  A=35°.

vis fasit

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel A og løser i GeoGebra.

 a2=b2+c2-2·b·c·cosA

3.92=4.72+c2-2·4.7·c·cos35°1NLøs:  {c=1.03, c=6.67}

Her kan begge løsningene brukes.

Lengden  c=1,0 cm i den ene løsningstrekanten og  c=6,7 cm i den andre trekanten.

2.7.20

I hver av oppgavene nedenfor skal du tegne hjelpefigur og finne lengden av BC hvis det er mulig.

a) Gitt trekanten ABC der

AB=8,0 cm, AC=4,0 cm  og  B=30°.

vis fasit
Trekant A B C der A B er 8,0 centimeter, A C er 4,0 centimeter og vinkel B er 30 grader. Illustrasjon.

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B og løser i GeoGebra.

 AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB

4.02=8.02+BC2-2·8.0·BC·cos30°1NLøs:  {BC=6.93, BC=6.93}

BC=6,9 cm

Vi får to sammenfallende løsninger. Det må bety at siden AC akkurat rekker opp til det høyre vinkelbeinet til vinkel B, dvs. det vinkelbeinet som skal være siden BC. Det må videre bety at  C=90°. Dette stemmer også med at hypotenusen er det dobbelte av den minste kateten i en 30-, 60- og 90-graders trekant.

b) Gitt trekanten ABC der

AB=8,0 cm, AC=6,0 cm  og  B=30°.

vis fasit
Trekant A B C som viser to mulige plasseringer C 1 og C 2 for punktet C når A B er 8,0 centimeter, A C er 6,0 centimeter og vinkel B er 30 grader. Illustrasjon.

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen med vinkel B (som i oppgave a)) og løser i GeoGebra.

 AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB

6.02=8.02+BC2-2·8.0·BC·cos30°1NLøs:  {BC=2.46, BC=11.4}

Vi får to løsninger og dermed to mulige trekanter der punktet C kan ligge to steder. Dersom vi kaller det ene punktet for C₁ og det andre for C₂, får vi

BC1=11,4 cm,  BC2=2,5 cm

c) Gitt trekanten ABC der

AB=8,0 cm, AC=3,0 cm  og  B=30°.

vis fasit
Figur som viser at vi ikke får en trekant A B C når A B er 8,0 centimeter, vinkel B er 30 grader og vi krever at A C skal være bare 3,0 centimeter. Illustrasjon.

Dette blir igjen samme oppsett som i a) og b) der vi løser med GeoGebra og setter opp en likning med utgangspunkt i cosinussetningen for vinkel B.

 AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB

3.02=8.02+BC2-2·8.0·BC·cos30°1NLøs:  {}

Vi finner ingen mulige løsninger.

Hvis vi sammenlikner med oppgave a), ser vi at den minste avstanden fra A til C er 4 cm. Vi kan si at AC ikke rekker bort til BC.

Gitt trekanten ABC der  AB=8,0 cm, AC=b cm og  B=30,0°.

d) For hvilke verdier av b er det to, én eller ingen trekanter som innfrir kravene i teksten ovenfor?

vis fasit

Alternativ 1. Løsning med GeoGebra

Vi tar utgangspunkt i samme cosinussetning som før, men setter AC = b og løser med GeoGebra.

 AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cosB

Løs(b2=8.02+BC2-2·8.0·BC·cos(30°), BC)1  {BC=-b2-16+43, BC=b2-16+43}$12  {BC=-b2-16+6.93, BC=b2-16+6.93}

Siden vi har en likning med to ukjente (både BC og b), må vi bruke kommandoen "Løs(<likning>, <variabel>)" i stedet for bare å trykke direkte på knappen for numerisk løsning av likning. Etterpå trykker vi på knappen for tilnærma utregning og får svaret fra linje 1 med tilnærma verdier.

Vi får at når rottegnet er null, dvs. at  b=4, blir det bare én løsning. Dette er den samme løsningen som i oppgave a), og vi kjenner igjen tallet 6,93.

Vi får videre at når  b<4, blir det negativt under rottegnet, og da er det ingen løsning. Dette stemmer overens med hva vi fant i oppgave c).

Dersom  b>4, har likningen alltid to løsninger. Men vi kan ikke ha negative løsninger, og løsninger som er null gir ingen trekant. Den andre løsningen i linje 2 er alltid positiv. Den første løsningen blir negativ når b blir stor nok. Fra den første løsningen setter vi opp en ulikhet som vi løser med GeoGebra.

-b2-16+43>0

-b2-16+4·3>03Løs:  {-8<b-4, 4b<8}

Vi får altså to løsninger når b er mindre enn 8. Det er fordi at hvis b, som er siden AC, er større enn 8, blir den større enn siden AB. Vi får en trekant da også, men da er ikke vinkel B lik 30 grader lenger. (Hvorfor ikke?) Når b er akkurat lik 8, gir den første løsningen  BC=0  og dermed ingen trekant.

Oppsummert:

Vi får to trekanter når  4<b<8.

Vi får én trekant når  b8        b=4.

Alternativ 2. Løsning uten GeoGebra.

Vi finner lengden til AC når AC står vinkelrett på BC.

Vinkel C er da 90°, og vi får (trenger ikke GeoGebra her dersom vi husker at  sin30°=12).

sin30° = AC8,0AC=8,0·sin30°=8,0·12AC=4,0 cm

Dette fant vi i oppgave a).

Dersom lengden AC er kortere enn 4,0 cm, vil vi ikke ha noen løsninger. Dette så vi i oppgave c) der AC ikke rekker opp til linja BC.

Dersom vi skal ha to løsninger, må lengden AC være større enn 4,0 cm og mindre enn lengden til AB, dvs. 8,0 cm. Et eksempel på dette var oppgave b) ovenfor.

Vi får én løsning når lengden AC er større enn eller lik 8,0 cm og når lengden AC akkurat er 4,0 cm dvs. at AC står vinkelrett på BC.

Oppsummert:

Vi får to trekanter når  4<b<8.

Vi får én trekant når  b8        b=4.

2.7.21 (uten hjelpemidler)

I en trekant er lengden på sidene 4, 5 og 5. Bestem cosinusverdien til vinklene i trekanten.

vis fasit

Vi ser at trekanten er likebent. Da vet vi at to av vinklene er like. Vi kaller de to like vinklene v og den tredje vinkelen u. Så bruker vi cosinussetningen til å bestemme cosinus til vinklene.

Den tredje vinkelen u er mellomliggende vinkel til de to like sidene. Vi får

42 = 52+52-2·5·5·cosucosu=52+52-422·5·5=3450=172552=42+52-2·4·5·cosvcosv=42+52-522·4·5=1640=25

2.7.22 (uten hjelpemidler)

I trekanten ABC er  AC=6, BC=3  og  cosC=59.

a) Tegn en hjelpefigur og bestem AB.

vis fasit
Trekant A B C der A C er 6, B C er 3 og cosinus C er fem niendedeler. Illustrasjon.

Vi bruker cosinussetningen til å bestemme AB.

AB2 = 62+32-2·6·3·59=36+9-20AB=5

b) Bestem cosA og cosB.

vis fasit

Vi bruker cosinussetningen til å bestemme cosA.

32 = 62+52-2·6·5·cosAcosA=36+25-92·6·5=522·6·5=1315

Vi bruker også cosinussetningen til å bestemme cosB.

62 = 32+52-2·3·5·cosBcosB=9+25-362·3·5=-22·3·5=-115

c) Hva kan du si om størrelsen på vinklene i trekanten?

vis fasit

Siden  cosB<0, vet vi at  B>90°. De to andre vinklene er mindre enn 90°.

2.7.23 Utfordring

I denne oppgaven får du bruk for at  sin30°=12.

I trekanten ABC er  A=30°, AB=5  og  BC=3.

a) Tegn en hjelpefigur og bestem sinC.

vis fasit
Figur som viser at det er to mulige trekanter A B C 1 og A B C 2 når A B er 5, B C er 3 og vinkel A er 30 grader. De to mulige punktene C 1 og C 2 er de to skjæringspunktene mellom sirkel med sentrum i B og radius 3 og det høyre vinkelbeinet til vinkel A. Illustrasjon.

Vi bruker sinussetningen og får

sinCAB = sinABCsinC5=123sinC=12·53=56

b) Forklar at det er to trekanter som tilfredsstiller kravene.

vis fasit

Vi får en vinkel i intervallet 0°, 90° og en vinkel i intervallet 90°, 180° , se figuren.

I en av trekantene i b) er  AC=6.

c) Bestem cosB i denne trekanten.

vis fasit

Vi bruker cosinussetningen:

b2 = a2+c2-2ac cosBcosB=32+52-622·3·5=-115

d) Hva forteller svaret i b) om størrelsen på B?

vis fasit

Siden cosinusverdien er negativ, vet vi at vinkelen er større enn 90°.

e) Bestem arealet til trekanten i b).

vis fasit

Vi bruker arealsetningen og får at arealet er

T=12b·c·sinA=12·6·5·12=152

Læringsressurser

Trigonometri 2