Hopp til innhold

  1. Home
  2. Matematikk for yrkesfaglige programmerChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Trigonometri 2ChevronRight
  5. ArealsetningenChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Arealsetningen

Oppgave 2.7.4 og 2.7.5 skal løses uten bruk av hjelpemidler.

2.7.1

a) Regn ut arealet av trekanten under.

Trekant der to sider er 2,8 cm og 4,5 cm og den mellomliggende vinkelen er 119 grader. Illustrasjon.
vis fasit

Vi bruker arealsetningen  T=12·AB·AC·sinA  og løser oppgaven i GeoGebra.

T:=12·2.8 cm·4.5 cm·sin119°1  T:=5.51 cm2

Legg merke til at vi kan legge inn enheten centimeter som en variabel i utregningen slik vi har gjort her. Men utregningen kan også gjøres uten å legge inn "cm", og det er ikke nødvendig å sette utregningen lik variabelen T.

Arealet er 5,5 cm2.

b) Regn ut arealet av trekanten under.

Trekant der to sider er 2,5 cm og 12,5 cm og den mellomliggende vinkelen er 125 grader. Illustrasjon.
vis fasit

Arealsetningen gir

T=12·AB·BC·sinB

Løser i GeoGebra.

T:=12·2.5 cm·12.5 cm·sin125°1  T:=12.8 cm2

Arealet er 12,8 cm2

c) I  ABC  er  A=25°, AB=8,0 m  og  AC=3,5 m.

1. Tegn en hjelpefigur.

vis fasit
Trekant A B C der A C er 3,5 m, A B er 8,0 m og den mellomliggende vinkelen A er 25 grader. Illustrasjon.

2. Regn ut arealet av trekanten.

vis fasit

Arealsetningen gir

 T=12·AB·AC·sinA.

Løser i GeoGebra.

T:=12·3.5 m·8.0 m·sin25°1  T:=5.92 m2

Arealet er 5,9 m2.

2.7.2

Regn ut lengden av siden AB i trekanten under.

Trekant der den ene vinkelen er 39,3 grader, det høyre vinkelbeinet er 6,1 og arealet er 11,1. Illustrasjon.
vis fasit

Vi kan bruke arealsetningen til å sette opp en likning. Utgangspunktet blir

 T=12·AB·AC·sinA

Løser i GeoGebra.

11.1=12·AB·6.1·sin39.3°1NLøs:  {AB=5.75}

AB=5,8

2.7.3

Trekanten under har areal 14,6. Regn ut lengden av siden AC i trekanten.

Trekant der den ene vinkelen er 32,6 grader og det høyre vinkelbeinet er 9,3. Illustrasjon.
vis fasit

Vi bruker arealsetningen til å sette opp en likning. Utgangspunktet blir

 T=12·AB·AC·sinA

Løser likningen i GeoGebra.

14.6=12·9.3·AC·sin32.6°1NLøs:  {AC=5.83}

AC=5,8

2.7.4 (uten hjelpemidler)

Bestem arealet til trekanten under når du får vite at

sinA=35

Trekant der to sider er 5 og 7 og sinus til den mellomliggende vinkelen er tre femdeler. Illustrasjon.
vis fasit

Vi kan bruke arealsetningen.

T = 12·AB·AC·sinA=12·7·5·35=212

Arealet er 212.

2.7.5 (uten hjelpemidler)

Bestem sida AC til trekanten under når du får vite at

sinA=35

Trekant med areal lik 3, sinus til en vinkel er tre femdeler. og det høyre vinkelbeinet er 2.
vis fasit

Vi kan bruke arealsetningen.

T = 12·AB·AC·sinA31=12·2·AC·351·5=AC5·5AC=5

2.7.6

Regn ut hvor stor A i trekanten under er.

Trekant med areal lik 11,7 og to sider som er 6,1 og 8,9. Illustrasjon.
vis fasit

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i arealsetningen.

 T=12·AB·AC·sinA

Vi løser likningen med GeoGebra.

11.7=12·8.9·6.1·sinA°1NLøs:  {A=25.53}

Vi må vurdere supplementvinkelen, som har samme sinusverdi. Supplementvinkelen til A er over 150 grader, og dette stemmer dårlig med figuren. Det gjør derimot den løsningen vi fikk av GeoGebra.

A=25,5°

2.7.7

Regn ut hvor stor A i trekanten under er.

Trekant med areal lik 14,6 og to sider som er 5,8 og 9,3. Illustrasjon.
vis fasit

Vi setter opp en likning med utgangspunkt i arealsetningen.

 T=12·AB·AC·sinA

Løser i GeoGebra:

14.6=12·9.3·5.8·sinA°1NLøs:  {A=32.78}

Supplementvinkelen til 32,78 grader blir her, som i forrige oppgave, altfor stor til å stemme med figuren.

A=32,8°

2.7.8

Eirins mor har en stor hage med mål som gitt på figuren nedenfor. Eirin får i oppgave å regne ut arealet av hagen, slik at den får riktig mengde med gjødsel.

Firkant  A B C D der tre av vinklene og alle sider er oppgitt. Illustrasjon.

Eirin finner ut at hagen har et areal på ca. 710 m2. Har hun regnet riktig?

vis fasit

Her må vi lete etter måter å dele opp firkanten på, slik at vi får to trekanter som vi kan bruke arealsetningen på. Vi ser at begge vinkelbeina til vinkel B og vinkel D er oppgitt i tillegg til vinklene. Da passer det å dele hagen slik det er gjort med en stiplet linje fra A til C på figuren. Vi finner så samlet areal ved hjelp av arealsetningen. Vi setter opp én med utgangspunkt i vinkel B og én med utgangspunkt i vinkel D.

Arealet=12·AB·BC·sinB+12·AD·CD·sinD

Løser i GeoGebra.

12·34.4·31.6·sin100°+12·10.4·43.5·sin130°1  708.54

Alternativt kan vi sette utregningen lik en variabel "Arealet" og ta med enhetene til lengdene.

Arealet:=12·34.4 m·31.6 m·sin100°1              +12·10.4 m·43.5 m·sin130°  Arealet:=708.54 m2

Ja, det ser ut som Eirin har kommet fram til riktig svar.

2.7.9

Huseier Per A. Real skal legge asfalt på gårdsplassen sin. Det vil koste 100 kroner per m2 å legge asfalten. Finn prisen Per må betale for å få lagt asfalten.

Firkant der alle sidene og tre av vinklene er oppgitt. Illustrasjon.
vis fasit

Vi må finne arealet av gårdsplassen og multiplisere det med prisen per kvadratmeter.

For å finne arealet må vi lete etter måter å dele opp firkanten på, slik at vi får to trekanter som vi kan bruke arealsetningen på. Vi ser at begge vinkelbeina til vinkel B og vinkel D er oppgitt i tillegg til vinklene. Da passer det å dele gårdsplassen med en stiplet linje fra A til C på figuren. Vi finner så samlet areal ved hjelp av arealsetningen. Vi setter opp én med utgangspunkt i vinkel B og én med utgangspunkt i vinkel D.

Arealet=12·AB·BC·sinB+12·AD·CD·sinD

Vi gjør utregningen med GeoGebra der vi bruker variabelen "Arealet". Vi må huske å gjøre om lengdene til meter, siden den oppgitte prisen er per kvadratmeter.

Arealet:=12·8.60 m·7.78 m·sin56°1              +12·4.26 m·5.62 m·sin102°  Arealet:=39.44 m2Pris:=Arealet·100 krm2                                2  Pris:=3944.36 kr

Merk at når vi legger inn enhetene riktig i utregningen, får vi riktig enhet på svaret.

Prisen blir omlag 3 950 kr.

Læringsressurser

Trigonometri 2