Hopp til innhold

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. FunksjonerChevronRight
  4. Ikke-lineære funksjonstyperChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Andregradsfunksjoner

Andregradsfunksjoner dukker opp i mange praktiske sammenhenger.

I lineære funksjoner opptrer variabelen x bare i første potens. I noen funksjoner opptrer x i andre potens. Det vil si at vi har ledd som inneholder x2. Vi kaller derfor slike funksjoner for andregradsfunksjoner.

Vi skal se på to praktiske eksempler på andregradsfunksjoner.

Eksempel

Målebånd. Foto.
Mål opp 12 meter av et tau.

Gå sammen med noen medelever og bruk et tau som er litt over 12 meter langt. Bind sammen endene og form tauet til et rektangel som figuren viser.

Omkretsen til tauet skal være 12 m.

Mål sidelengder og regn ut arealet til rektanglene dere får når den ene sidelengden, x, er 0, 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 meter.

  • Omkrets av rektangel. llustrasjon.
    Noter resultatene i en verditabell, og plott punktene i et koordinatsystem.
  • Klarer du å finne en formel for arealet av firkanten når du kaller to av sidene for x?
  • Tegn grafen
  • Hva er det maksimale arealet firkanten kan få?
  • Hva forteller grafens skjæringspunkter med x-aksen?

Hvis du ikke ønsker å gjøre oppgaven selv, kan du studere løsningen.

Løsning

For hver verdi av x, får vi et bestemt rektangel med et bestemt areal. Vi har altså at arealet til rektangelet er en funksjon av x. Omkretsen til rektangelet er 12 m. To og to sider er like lange, slik at vi bare har to forskjellige sidelengder. Vi kaller disse for henholdsvis grunnlinje og høyde. Grunnlinjen og høyden må til sammen være halve omkretsen, slik at når grunnlinjen er x, så må høyden være 6x .

Funksjonen representert ved en verditabell:

Verditabell:
Grunnlinjen i meter (x) 0 1 2 3 4 5 6
Høyden i meter 6 5 4 3 2 1 0
Areal av rektangel i m2 A(x) 0 5 8 9 8 5 0

Toppunkt andregradsfunksjon

Vi har plottet punktene fra verditabellen i et koordinatsystem hvor førstekoordinaten er lengden på grunnlinjen og andrekoordinaten er arealet til det tilhørende rektangel.

Vi kan også representere arealfunksjonen ved en formel:

Ax = x·6-xAx=6x-x2

Vi ser at vi har en andregradsfunksjon.

Vi tegner grafen til funksjonen i samme koordinatsystem, og ser at grafen går gjennom punktene som vi plottet fra verditabellen.

Grafen har et toppunkt, et punkt hvor funksjonen har sin maksimale verdi. Det vil si at det største arealet rektangelet kan få er 9 m2.

Nullpunkter. Når grafen skjærer førsteaksen, er enten grunnlinjen 0 eller 6 meter. Vi får da ikke noe reelt rektangel, og arealet blir 0.

Generell form for andregradsfunksjoner

En funksjon der funksjonsuttrykket inneholder et andregradsledd, det vil si et ledd med x2, kalles en andregradsfunksjon. Alle slike funksjoner kan skrives på formen
fx=ax2+bx+c
I tillegg til andregradsleddet har vi vanligvis et førstegradsledd, et ledd med x i første potens og et konstantledd, c. Verdiene av a, b og c, er forskjellige fra funksjon til funksjon.

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel.

To eksempler på andregradsfunksjoner og deres grafer.

fx=x2-4x+2 og gx=-x2+3x+4

Symmetrilinje, topp- og bunnpunkt

Det mest karakteristiske trekket med parabler er at de har et toppunkt eller bunnpunkt. Et fellesnavn for disse er ekstremalpunkt. De har også en symmetrilinje som er parallell med y-aksen og går gjennom ekstremalpunktet.

Legg merke til at grafen har toppunkt når andregradsleddet er negativt og bunnpunkt når andregradsleddet er positivt.

Nullpunkt og ekstremalpunkt

Nullpunkter er de punkter hvor funksjonsverdiene er lik 0. Det vil si der grafene skjærer førsteaksen.

Vi kan lese av nullpunktene direkte på grafen, eller vi kan skrive «Nullpunkt[f]» og «Nullpunkt[g]» i GeoGebra. Nullpunktene vises da på grafen.

Funksjonen f har nullpunktene (0.6, 0) og (3.4, 0).

Funksjonen g har nullpunktene (1, 0) og (4, 0).

Vi ser av grafen til f at funksjonen har sin laveste verdi for x=2. Grafen har et bunnpunkt,
(2, 2 ).

Grafen til g viser at funksjonen har sin høyeste verdi for x=1,5. Grafen har et toppunkt,
(1.5, 6.3).

Vi kan lese av ekstremalpunktene direkte på grafen, eller vi kan skrive «Ekstremalpunkt[f]» og «Ekstremalpunkt[g]» i GeoGebra.

Vi kan også legge merke til at hvis funksjonsverdien til et bunnpunkt er større enn 0, så vil funksjonen ikke ha nullpunkter, og hvis funksjonsverdien til et toppunkt er mindre enn 0, så vil heller ikke funksjonen ha nullpunkter.

Legg også merke til at i grafens skjæringspunkt med y-aksen, er y-verdien lik konstantleddet.

Eksempel

Prekestolen i Rogaland. Foto.
Prekestolen i Rogaland

Prekestolen er et fjellplatå i Rogaland som rager ca. 600 meter over Lysefjorden. Fjellveggen fra Prekestolen ned til fjorden er nesten loddrett.

Tenk deg at du står på kanten av Prekestolen og kaster en stein rett opp i luften med utgangsfart 25 m/s. På nedturen passerer steinen på utsiden av platået og havner i Lysefjorden.

Naturens lover forteller oss at høyden til steinen er en funksjon av tiden og er tilnærmet gitt med funksjonsuttrykket

ht=25t-5t2

Her står t for tiden i sekunder etter at steinen ble kastet.

Graf over endring i høyde til fallende gjenstand. Bilde.

Høydefunksjonen er en andregradsfunksjon fordi variabelen t er i andre potens.

Vi tegner grafen til funksjonen de første 20 sekundene ved å skrive «h(t)=Funksjon[25t-5t^2, 0, 20]».

Vi finner toppunktet ved kommandoen «Ekstremalpunkt[h]».
Det viser at steinen når sitt høyeste punkt 31,3 meter over platået etter 2,5 sekunder.

Vi finner punktet B=(10, -250) ved å skrive «(10, h(10))». Det viser at steinen passerer 250 meter under platået etter 10 sekunder.

Vi tegner linjen y=-600 og finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt».

Vi får skjæringspunktet C=(13.7,-600) som viser at steinen treffer Lysefjorden etter 13,7 sekunder.

Vi finner nullpunktene D=(0, 0) og E=(5, 0) ved kommandoen «Nullpunkt[h]». Det viser at steinen forlater platået ved tiden null og passerer platået på veien ned etter 5 sekunder.  

Eksempel

En bedrift produserer x enheter av en vare per dag. Funksjonen K gitt ved

Kx=0,252+500

viser kostnadene (kroner) ved produksjon av x enheter.

Bedriften kan maksimalt produseres 200 enheter per dag. De produserte enhetene selges for 45 kroner per stk. Inntektene er da gitt ved

Ix=45x

Overskuddet er differensen mellom inntekter og kostnader, og overskuddsfunksjonen O er derfor gitt ved

Ox=Ix-Kx .

Figuren viser grafene til K, I og O.

Graf over kostnad, inntekt og overskudd. Bilde.

Skjæringspunktene mellom grafene til K og I viser at kostnadene er like store som inntektene ved produksjon av 12 enheter og ved produksjon av 168 enheter. Overskuddet er da lik null, og grafen til O har nullpunkter for x=12 og x=168.

Ved produksjon av mindre enn 12 enheter eller flere enn 168 enheter er kostnadene større enn inntektene og overskuddet er negativ. Bedriften taper penger.

Grafen til O har toppunkt (90, 1525). Bedriften oppnår maksimalt overskuddet ved å produsere 90 enheter per dag. Overskuddet per dag er da 1525 kroner.

Læringsressurser

Ikke-lineære funksjonstyper

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter